導數：斜率與變化率
這是微積分這一層的第一關（共五關），也是最該先讀的一關 ——
因為另外四關（積分、多變量、
規則、應用）都踩在它上面。
導數回答的問題只有一句：x 動一點，y 跟著動多少。
最佳化 03 關把它設成 0 去找最低風險、
最佳化 02 關拿它當影子價格、
最佳化 01 關拿它讓機器自己走下坡 —— 都是同一個數字換場合。
這一關是微積分 01，不算在主線十六關裡，隨時可以插隊；後面用到它的地方都會連回這一頁。
① 這關在解什麼問題：先說導數拿來幹嘛
基礎 01 關與前面主線十六關給了你什麼 你已經親手量過斜率（基礎 01 ⑥ 拖著點量 ex 的坡度）、親手看過梯度歸零 （最佳化 01 ⑤ 把藍點拖到谷底，箭頭縮到消失）、 親手用切線估過影子價格（最佳化 02 ⑤ 的中央差分）。 操作全部做過，名字一個都沒給。這一關只補名字與算法，不引入任何新的線性代數或機率概念。
「導數」這個詞本身不值得背。值得記的是它能拿來做四件事 —— 而這四件事你在後面關卡全部會遇到：
- 找最佳點：斜率 ＝ 0 的地方就是谷底或山頂。 最佳化 03 ⑥ 的最低風險組合，就是把導數設 0 一行解出來的。
- 量變化率：「多給一單位預算能省多少」＝ 最佳化 02 ⑤ 的影子價格 λ；「密度是 CDF 的斜率」＝ 機率統計 02 ④。
- 讓機器自己走下坡：梯度下降每一步都在問「往哪邊斜、斜多少」—— 最佳化 01 ⑤⑥。這是機器學習訓練的全部機制。
- 用一個數字預測附近：ln(1 + r) ≈ r（④）—— 日報酬在 1% 以內時，log 報酬幾乎等於百分比報酬。
四件事的共同形狀都是「x 動一點，y 跟著動多少」。 這一關把那個「多少」變成一個可以算、也可以現場量出來的數字。
導數在主線十六關的哪些地方已經被用掉了
下面這張表不是清單，是這一關存在的理由。每一列都是「已經用了、但沒教」：
| 在哪 | 用到什麼 | 你需要哪一節 |
|---|---|---|
| 02 ⑤ | 「平方可微，它的導數是 2x，梯度下降愛它」 | ② 差商 |
| 基礎 01 ⑥ | 中央差分現場量 ex 與 ln x 的坡度 | ② · ③ |
| 最佳化 02 ④ · ⑤ | 相切、切線斜率、中央差分 h = 0.001 現場驗 λ | ② |
| 最佳化 02 坑 4 | 「影子價格是切線，不是弦」：走遠了就系統性低估 | ④ 線性近似 |
| 最佳化 03 ⑥ | 「拋物線一定有唯一最低點，把導數設 0 直接解出來」 | ②；多維版在 多變量關 ③ |
| 機率統計 02 ⑨ · 實戰 ③ | ln、exp 的斜率； ln(1+r) ≈ r 的來歷 | ③ · ④ |
另外三個大用途 ——「面積 / 累積」、「多變數的斜率」、 「不必每次算極限的規則」—— 在另外幾關，見下面那張分工表。
本頁符號對照表
這一頁只有 6 個符號，其中兩個你在 最佳化 02 ⑤ 已經見過：
微積分這一層有五關，你在第 01 關
五關沒有先後綁定（除了多變量關與規則關預設你讀過這一關）。卡在哪一關就讀對應那一關：
| 關 | 它回答什麼 | 誰在用 |
|---|---|---|
| 導數（你在這裡） | 「這一點斜多少」 | 最佳化 01 的梯度、最佳化 02 的影子價格、最佳化 03 的「導數設 0」、基礎 01 量過的 eˣ 斜率 |
| 積分 | 「這一段總共多少」 | 機率統計 02 的面積 ＝ 機率、機率統計 05 的尾巴、機率統計 01 的臨界值、期望值 |
| 多變量 | 「兩個以上的變數怎麼斜」 | 最佳化 01 ⑤ 的 ∇f、最佳化 01 ④ 的凸性、最佳化 03 ⑦ 的 2Cw、最佳化 02 的相切 |
| 規則 | 「不算極限，直接寫下導數」 | 02 ⑤ 的 2x、最佳化 02 ② 的 2(x−2)、機率統計 05 ⑤ 的 λe−λt、反向傳播 |
| 應用 | 「這些工具在 ML 與交易的哪裡」 | 選擇權 Delta / Gamma、softmax 與交叉熵、log 報酬的期望 |
把「上升 ÷ 前進」的那一步切到無限細，除出來的數字就是導數。 它有兩個身分：① 一個數字（這一點多陡）、② 一把尺（拿它預測附近的值）。
剩下的篇幅都在回答兩個問題：這個數字怎麼量出來、量出來能拿去做什麼。
② 導數 ＝ 斜率的極限：把「上升 ÷ 前進」切到無限細
上一節給了你什麼 ① 節告訴你：你在 基礎 01 ⑥ 已經量過斜率了， 做法是「把 x 往左右各推 0.001，看高度差多少，再除以推的距離」。 這一節要做的只有一件事：把那個動作寫成式子，然後問「如果那一步推到無限小，會怎樣」。
順便先給一個名字：極限。你一直在用它 —— 機率統計 02 ② 那句「組距 → 0、樣本數 → ∞」、 基礎 01 ⑤ 那個 (1+1/n)n 收斂到 2.718、 以及這一節接下來要做的 h → 0，全部是同一個動作： 把某個東西一路推向極端，然後問「數字往哪裡靠」。 「極限」就是給這個「逼近」的動作一個名字，它不是新的操作。
先看「兩點之間」的斜率：這你一定會
地圖上的坡度怎麼算？上升 ÷ 前進。曲線上任兩點也一樣：
f(x + h) —— 往右走 h 之後那一點的高度。
分子 f(x + h) − f(x) ＝ 上升了多少（可以是負的，那就是下坡）。
分母 h ＝ 前進了多少。
整個式子有名字：差商（difference quotient）—— 「差」除以「差」的商。
這條線叫割線（穿過曲線上兩點的直線）。它算出來的是那一段的平均坡度， 不是「你站的那一點」的坡度。兩者差多少，取決於 h 有多大。
再把 h 縮小：割線會轉成切線
如果 h 一路縮小，右邊那顆點會沿著曲線滑回來，割線也跟著轉。 它會停在一個固定的角度上 —— 那個角度就是「你站的那一點」的坡度。下面這張圖讓你親手縮它。
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把 x = 3、f(x) = x² 的那一排數字抄下來， 因為它是這一節的全部證據：
| h | 上升 f(3+h) − f(3) | 差商（上升 ÷ h） | 差多少 |
|---|---|---|---|
| 1 | 7.000000 | 7.000000 | 大 1.000 |
| 0.5 | 3.250000 | 6.500000 | 大 0.500 |
| 0.1 | 0.610000 | 6.100000 | 大 0.100 |
| 0.01 | 0.060100 | 6.010000 | 大 0.010 |
| 0.001 | 0.006001 | 6.001000 | 大 0.001 |
最後一欄有個很難忽視的規律：差出來的量剛好就是 h 本身。 所以 h 一路縮下去，那個誤差也一路縮下去，而差商停在 6。
為什麼是 6：這次不用量，用代數算
上面那張表是量出來的。同一件事可以算出來，而且只用到國中的乘法公式。 以 f(x) = x² 為例，一步都不跳：
＝ ( (x + h)² − x² ) / h
＝ ( x² + 2xh + h² − x² ) / h
＝ ( 2xh + h² ) / h
＝ 2x + h 第二行：把 (x+h)² 展開成 x² + 2xh + h²。
第三行：x² 一正一負消掉了 —— 這是關鍵，消掉之後分子每一項都帶 h。
第四行：分子分母各除一個 h（此時 h 還不是 0，所以除得下去）。
結果是 2x + h：差商不是一個常數，它跟著 h 變。
現在把 h 推向 0。2x + h 裡的 h 消失， 剩下 2x。代 x = 3：2 × 3 ＝ 6 —— 跟上面那張表量到的完全一樣。
這是全部微積分最容易被誤讀的一句話，值得停下來三十秒。
如果直接把 h = 0 代進原式，你會得到 (f(x) − f(x)) / 0 ＝ 0 / 0 —— 沒有意義。 所以我們不代 0，而是問：「h 越來越小的時候，這個數字往哪裡靠？」
上表回答了這個問題：7 → 6.5 → 6.1 → 6.01 → 6.001，它往 6 靠。 這個「往哪裡靠」的答案叫極限（limit）。機率統計 02 ② 那句「組距 → 0、樣本數 → ∞」用的是同一個字， 基礎 01 ⑤ 那個 (1+1/n)n 收斂到 2.718 也是同一個字。
這一頁不做 ε-δ 的形式定義（那是給要證明定理的人用的）。 「數字往哪裡靠」這個直覺，配上你剛剛親手縮過的那根滑桿，已經足夠支撐後面所有關卡。
把名字補上：導數、切線、微分
limh→0 —— 「當 h 趨近 0 時，後面這個東西趨近的值」。
同一件事的另外三種寫法：df/dx、dy/dx、 d/dx f(x)。意思完全一樣， d 是「無限小的一段差」（跟 Δ 相對，Δ 是「有限的一段差」）。
「求 f′ 的動作」叫微分（differentiate）； 可微就是「這個極限存在」，也就是 02 ⑤ 講平方時用的那個詞。
而切線就是「斜率剛好是 f′(x)、又穿過 (x, f(x)) 的那條直線」—— 也就是上面那條桃紅虛線。它不是「只碰一點的線」（那個描述在很多曲線上會出錯）， 它的定義就是「割線在 h → 0 時的極限位置」。
上面那條式子往右推一步，叫前向差分（forward difference）。實務上更常用的是兩邊各推半步：
這叫中央差分（central difference）。基礎 01 ⑥ 與 最佳化 02 ⑤ 用的都是它，h 都是 0.001。
為什麼要繞這一下？因為它準得多。同樣 h = 0.001 量 x² 在 x = 3 的斜率：
- 前向差分：6.001 —— 誤差 0.001，跟 h 同一個數量級。
- 中央差分：6.000000 —— 誤差是 10−13 級的浮點殘渣。
直覺上的理由：前向差分永遠偏向「右邊那一段」的坡度，偏差是單向的； 中央差分左右各偏一次、方向相反，兩個偏差互相抵掉。 代價只是多算一次函數值。要在程式裡量斜率，就用中央差分。
③ ex 與 ln x 的導數：基礎 01 關量過的那兩件事，現在給名字
基礎 01 關給了你什麼 基礎 01 ⑥ 你已經拖著點量過兩條曲線的坡度， 量到的結果是「ex 的斜率就是自己」與 「ln x 的斜率是 1/x」。 當時那一頁只能說「量出來的」。現在那個量出來的東西有名字了，叫導數 —— 所以那兩句話可以寫成正式的式子。
第二條的意思：ln 一路變慢 —— 在 x = 1 坡度是 1， 到 x = 100 只剩 0.01。
x > 0 的限制是因為 ln 只吃正數 （基礎 01 ⑧ 坑 1）。
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為什麼 ex 微分之後是自己：一行差商就看得出來
把 ② 節的差商套到 ex 上，用的是 基礎 01 ④ 那條「指數相加＝底數相乘」：
重點：提出來的 ex 跟 h 完全無關， 所以整條式子是「ex 乘上一個只跟 h 有關的數」。
剩下的問題只有一個：(eh − 1)/h 在 h → 0 的時候是多少？ 代幾個數字進去看（自己按計算機也可以）：
| h | eh − 1 | (eh − 1) / h |
|---|---|---|
| 1 | 1.718282 | 1.718282 |
| 0.1 | 0.105171 | 1.051709 |
| 0.01 | 0.010050 | 1.005017 |
| 0.001 | 0.001001 | 1.000500 |
| 0.0001 | 0.000100 | 1.000050 |
它往 1 靠。所以整條差商往 ex × 1 靠 —— 導數就是自己。
順序不要弄反：不是「e 剛好有這個性質」，是「有這個性質的那個底就叫 e」。
基礎 01 ⑤ 用連續複利算出 (1 + 1/n)n → 2.718281828…。 把 h = 1/n 代進去，那條式子等價於 (1 + h)1/h → e，兩邊取 ln 再整理， 得到的就是 (eh − 1)/h → 1。 連續複利、e 的定義、「微分之後不變」是同一件事的三種說法。
換成別的底就會多一個常數：d/dx 2x = 2x · ln 2 ≈ 2x × 0.693。 基礎 01 ⑥ 那句「哪個底讓這個常數剛好是 1，答案就是 e」， 現在你看得到那個常數是從哪一步跑出來的。
為什麼 ln x 的導數是 1/x：鏡射之後斜率取倒數
基礎 01 ③ 那張圖說過：ex 與 ln x 沿著 y = x 互相鏡射。 鏡射把「橫向」與「縱向」對調，所以斜率會變成倒數：原來「前進 1、上升 3」的地方， 鏡射過去就是「前進 3、上升 1」。
把這件事寫下來：設 y = ln x，那麼 x = ey。
第二步：鏡射就是把 dx/dy 翻成 dy/dx，也就是取倒數。
所以 ln x 在 x 這一點的坡度是 1/x。 在 x = e 驗一次：ex 在 y = 1 的坡度是 e ≈ 2.718， 而 ln x 在 x = e 的坡度是 1/e ≈ 0.368 —— 兩個相乘剛好是 1。
這條 1/x 解釋了 基礎 01 ⑦ 那張對數刻度圖為什麼有用：它對大數字越來越不敏感， 剛好符合我們看大數字的方式（我們在意的是「幾倍」，不是「差多少」）。 全景 01 關提到的「負對數概似」也踩在同一條性質上： 機率相乘取 log 變相加，而 log 的導數乾淨（1/x）， 梯度下降才推得動它。
④ 線性近似：導數不只是一個數字，它是一把尺
前面幾節給了你什麼 ② 節之後，你會把導數當成「那一點的斜率」。這一節多給它一個身分： 用它去猜附近的值。而你已經被這件事咬過一次 —— 最佳化 02 關坑 4 用數字證明過 「影子價格 λ 是切線，不是弦」： 同樣多接一整單位，在 b = 6 只低估 16.7%，在 b = 4 卻低估 50%。 那一節缺的就是這一節的名字。
切線就是「假裝曲線是直的」
f(a) —— 起點的高度。
f′(a) —— 在 a 這一點的斜率（② 節量的那個數）。
(x − a) —— 你要往旁邊走多遠。
整條式子讀作：「從已知的那一點出發，照當地的坡度直線走過去」。 它有三個名字：線性近似、切線近似、一階泰勒展開 —— 同一件事。
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最常用的一個特例：ln(1 + r) ≈ r
把上面那條式子套在 f(x) = ln(1 + x)、切點 a = 0 上。 需要兩個數字：f(0) = ln 1 = 0， 以及 f′(0) —— 由 ③ 節，ln(1+x) 的斜率是 1/(1+x)，代 x = 0 得 1。所以：
| r | ln(1 + r) 真值 | 近似值 r | 相對誤差 | 能用嗎 |
|---|---|---|---|---|
| 1 % | 0.009950 | 0.010000 | 0.50 % | 可以，誤差可忽略 |
| 5 % | 0.048790 | 0.050000 | 2.48 % | 看用途 |
| 20 % | 0.182322 | 0.200000 | 9.70 % | 已經不該用 |
| 50 % | 0.405465 | 0.500000 | 23.32 % | 不行 |
誤差從 0.5% → 2.5% → 9.7% → 23%：r 放大幾倍，相對誤差就跟著放大幾倍 （因為誤差 ≈ ½r²，除以 r 之後還剩一個 r）。 這就是「小的時候能用、大的時候不能用」的量化版本 —— 實戰 ③ 的日報酬幾乎都在 1% 以內，所以那裡兩者可以混著談； 三個月累積 20% 以上就不行了。
線性近似丟掉的是彎曲。彎多少由 f″（多變量關 ③）決定，而誤差大約是：
兩個立刻對得上的地方：
- 最佳化 02 關坑 4：同樣多接一整單位， λ 在 b = 6 低估 16.7%、在 b = 4 低估 50%。 差別不在步子大小，在那裡的曲線彎得多兇 —— 誤差 ≈ ½·f″·(步子)²， f″ 大的地方，同樣一步就錯得多。而方向永遠一樣： 凸函數往上彎，切線只會低估。
- 機率統計 02 ⑨ 的 E[exp Y] ≠ exp(E[Y])： 差的那個 es²/2 因子，來源同樣是二階項 （s² 就是變異數）。「E 穿不過非線性」與「線性近似有誤差」是同一件事的兩種說法。
⑤ 這關回答了什麼
一句話說，導數到底是什麼？
它是「上升 ÷ 前進」，只是那個「前進」被縮到無限小。 兩點之間的斜率你本來就會算（② 的差商）； 導數就是把右邊那點滑回來、割線轉成切線之後停在的那個數字。
它有兩個身分，兩個都要記：① 一個數字 ——「這一點有多陡」； ② 一把尺 —— 用它可以猜附近的值（④ 的線性近似）。 最佳化 02 關的影子價格用的是第二個身分。
「h → 0」跟「把 h 代 0」差在哪？
差在後者沒有意義。直接代 h = 0 會得到 0 / 0；h → 0 問的是 「h 越來越小的時候，這個數字往哪裡靠」。
② 那張表就是答案：7 → 6.5 → 6.1 → 6.01 → 6.001，它往 6 靠。 這個「往哪裡靠」叫極限。機率統計 02 ② 的「組距 → 0」、 基礎 01 ⑤ 的 (1+1/n)n → e 用的是同一個字。
為什麼程式裡量斜率要用中央差分，不用定義本身？
因為同樣的 h，中央差分準十個數量級。量 x² 在 x = 3 的斜率、h = 0.001：前向差分給 6.001 （誤差跟 h 同級），中央差分給 6.000000（誤差 10−13 級）。
理由是偏差方向：前向差分永遠偏向右邊那一段，偏差是單向的； 中央差分左右各偏一次、方向相反，兩個偏差互相抵掉。 代價只是多算一次函數值 —— 基礎 01 ⑥、 最佳化 01 ⑤、最佳化 02 ⑤ 全站的量測器都是這樣寫的。
ex 為什麼微分之後還是自己？ln x 為什麼是 1/x？
第一件事是定義，不是巧合。任何指數函數的差商都可以拆成 bx · (bh − 1)/h —— 後面那塊只跟 h 有關。 所以每個指數函數的導數都是「自己乘上一個常數」，而讓那個常數剛好是 1 的底就叫 e（③）。
第二件事是鏡射：ln 是 ex 沿 y = x 的鏡射（基礎 01 ③）， 鏡射把橫向與縱向對調，所以斜率取倒數 → 1/x。 在 x = e 對帳：2.718 與 0.368 相乘剛好 1。
為什麼 ln(1+r) ≈ r？什麼時候就不能這樣用了？
因為在 a = 0 這一點，ln(1+x) 的高度是 0、 斜率剛好是 1，所以切線就是 y = r（④）。
能不能用看誤差表：r = 1% 時相對誤差 0.5%（可忽略）、 5% 時 2.5%（看用途）、20% 時 9.7%（不該用）、50% 時 23%（不行）。 誤差跟 r² 成正比，所以「小的時候好用、大的時候壞得很快」。 實戰 ③ 的日報酬都在 1% 以內，那裡才可以混著談。
這一關跟主線十六關、跟另外四關的關係是什麼？
對主線十六關：它不引入新概念，只把 02、基礎 01、最佳化 02、最佳化 03 已經在用的動作命名。 ① 那張表列了六個位置。
對另外四關：積分關（面積與累積）是這一關的反面 —— 導數問「這一點多陡」，積分問「這一段總共多少」，而 基本定理說它們互為逆操作。 多變量關（梯度與極值）是這一關的升維版 —— 把「一條曲線的斜率」換成「一座山的斜率」，那就是最佳化 01 關的 ∇f。 規則關（微分規則與鏈式法則）是這一關的續集 —— 這裡講「導數是什麼」，那裡講「怎麼不用每次算極限就寫下它」，而鏈式法則就是反向傳播。 應用關（ML 與交易）是出口 —— Delta 就是這一關的 f′、Gamma 就是二階導數。
你是為了 13 / 最佳化 03 關的梯度來的：往 多變量關（梯度與極值）， 那裡把 ∂f/∂x、∇f、 ∇(½vᵀAv) = Av 一次算完。
你是為了 09 / 機率統計 05 關的面積來的：往 積分關（面積與累積）， 那裡把 ∫ 與「面積 ＝ 機率」接起來。
你是為了最佳化 02 關的 λ 來的：直接回 最佳化 02 ⑤ —— 現在那段中央差分程式碼有名字了，而 ④ 也告訴你它為什麼「只在附近可信」。
你是想知道「學這個能幹嘛」：往 應用關 —— 選擇權的 Delta / Gamma、softmax 與交叉熵、log 報酬的期望值， 三個互動都踩在這一關與 規則關上面。