把兩個隨機變數加起來，會抖多少？

① 這關在解什麼問題

上一關給了你什麼 機率統計 02 ⑤ 把一台機器的形狀講完了：μ 搬左右、σ 管胖瘦， 兩顆旋鈕就決定一整條曲線。但那整關從頭到尾只有一台機器。 這一關擺兩台上桌，然後問最土的問題：把它們的輸出加起來，會抖多少？ 你會發現答案裡多冒出一項 2Cov(X, Y) —— 而那個 Cov 不是新東西，就是 03 關那張 C 的非對角線。 這一關就是 C 第一次被拿去「算後果」，而不只是「描述形狀」。

先講具體的麻煩

你有兩支服務。前端呼叫一次要先打認證、再打查詢，兩段串起來跑：

問題：總延遲會抖多少？直覺會這樣回答：

8 ms 不是捨入誤差。你如果照 28 ms 去開 p99 的告警閾值，會把閾值設得太寬， 真的變慢了你也收不到通知；反過來如果你用它算容量，會白買 40% 的機器。 這一關就是在解釋那 8 ms 去哪了。

先把符號認一遍

這一整頁只會用到下面這些符號。每一個都只是某句中文的縮寫，最右欄是它現在的值（你動任何滑桿它就跟著變）：

⑤⑥ 節還會冒出 σ₁、σ₂、C_ij、λ —— 各自在第一次出現的地方就地解釋，這裡先不塞。

② 兩台機器同時吐：平均會相加，寬度不會

先不要算任何東西，只看形狀。下面三張圖是拿模擬資料畫的直方圖 —— 把每次量到的延遲丟進 5 ms 一格的桶子裡，數每個桶子有幾筆。桶子越高＝那個範圍越常出現。

這一節刻意假設兩支服務互不影響（相關係數 ρ = 0：認證慢的時候，查詢並不會跟著慢）。 交叉項要到 ④ 才登場，這裡先把最乾淨的情況看清楚。

縱軸是相對次數：每張圖各自把自己最高的那根柱子當成 1，所以三張圖的高度不能互比、寬度可以（x 軸完全同尺度）。

所以這一段的結論是：平均是可以相加的，抖動不行。而且「不行」的方式很有規律 —— 不是隨便少一點，而是每次都剛好少到某個值。下一節把那個值算出來。

③ 公式的來歷：為什麼是畢氏定理，交叉項又是從哪冒出來的

這一節會慢一點，因為整關的地基都在這裡。分三步：先看獨立的情況（結論會是畢氏定理）， 再看一般情況（會多出一個交叉項），最後拿模擬資料現場對帳。

第一步：獨立的時候，變異數直接相加

先給結論，再解釋為什麼：

這個式子你其實國中就見過，只是那時候它叫別的名字。 σ_x = 12、σ_y = 16、答案 20 —— 12、16、20 就是 3、4、5 放大 4 倍。這是畢氏定理。

為什麼會是畢氏定理？因為 02 關證過「變異數就是一條向量跟自己的內積」， 而 03 關證過「相關係數就是那兩條向量的餘弦」。 兩件事合起來：獨立 ⇒ ρ = 0 ⇒ cos θ = 0 ⇒ 兩條向量垂直。 垂直的兩條向量相加，長度就走畢氏定理 —— 這就是 02 關坑 3 那句「標準差不能相加」的兌現： 標準差是長度，而兩條垂直向量的長度不能相加。

第二步：一般情況 —— 交叉項是從「展開平方」掉出來的

真實世界兩個東西通常不獨立（兩支服務可能打同一個 DB、兩檔股票可能一起崩）。這時候完整的式子是：

那個 2Cov 不是硬塞的，它是國中乘法公式 (a + b)² = a² + 2ab + b² 的直接後果。五行推完，每一行都只做一件事：

第三步：用真資料先對一次帳（不是模擬，是恆等式）

上面那五行是代數恆等式：只要用同一組資料、同一個自由度（本站一律樣本版 n − 1）， 左右兩邊會一位小數都不差。拿 03 關那九個同學的真資料驗一次 （每週唸書時數當 X、週考分數當 Y）：

第四步：換成會抖的模擬資料，看抽樣誤差

剛才是「同一組資料、兩種算法」，所以完全相等。真正有趣的問題是另一個： 我設定了 σ_x、σ_y、ρ 去生成資料，那生出來的資料回頭算，會不會回到我設定的值？ 這就是 機率統計 01 關那件事：手上永遠只有樣本，樣本算出來的統計量會在真值附近晃。

所以這一段的結論是：公式對，資料會抖。兩件事要分開看 —— Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov 是恆等式（永遠成立，不需要任何分布假設）， 而「我算出來的 Var 準不準」是抽樣問題（要靠 n 夠大）。

④ 交叉項的意義：分散風險的數學定義，就是把它弄成負的

交叉項 2Cov(X,Y) 裡面唯一會變號的東西是 ρ。 把 Cov = ρσ_xσ_y 代進去，整條式子只剩一個旋鈕：

把 ρ 的三個特殊值代進去，三個答案都是整數，剛好把整個故事框住 （下面用預設的 σ_x = 12、σ_y = 16）：

換句話說：「兩個抖動加起來」只是 ρ = +1 這一個極端情況。 直覺之所以會答 28，是因為它偷偷假設了「兩件事完全同步」，而那是最糟的一種世界。

⑤ 加上權重：為什麼 a 要平方

到目前為止都是「一份 X 加一份 Y」。真實情況你會各拿多少： 七成錢買 A、三成買 B；或者呼叫服務 X 兩次、服務 Y 一次。所以式子要能吃權重：

先回答那個「為什麼是平方」

因為變異數本身就是一個平方的量。把它想成02 關那些正方形的面積：

權重拉 2 倍，抖動幅度 2 倍，面積 4 倍。所以在「變異數」這個帳本上， 權重一定是平方進去的；而交叉項是「兩個不同邊長的長方形」，所以進去的是 ab 而不是 a²。 等你回到標準差（開根號），權重就變回一次方了 —— σ(aX) = |a|σ_x。

換一組資料：把 X、Y 換成兩檔資產

公式一個字都不用改，只是換身分。從這裡開始 X、Y 是 最佳化 03 關那兩檔資產的年報酬率，a、b 是錢怎麼分：

下標從 x/y 換成 1/2 純粹是為了 ⑥ 節能寫成 C_ij（第 i 個、第 j 個），意思完全一樣。 這三個數字是最佳化 03 關編的合成資料，不要拿去做投資判斷。

畫面上看得見的那條「隨機變數向量」

③ 說過：獨立的兩個隨機變數，在幾何上是垂直的兩根箭頭，長度就是各自的 σ。 不獨立的時候呢？那兩根箭頭的夾角就不是 90° 了 —— 因為 cos θ = ρ（03 關那句話）。於是整條式子變成國中的餘弦定理：

所以這一段的結論是：權重進到變異數裡一定是平方（自己那一項）或相乘（交叉項）， 因為變異數是面積。而幾何上，「決定錢怎麼分」就是決定兩根箭頭各拉多長， 「風險」就是合成之後那根箭頭的長度。

⑥ 寫成矩陣：w^TCw 就是那三項，一個字都沒多

這是本關的終點。上一節那條三項式已經是完整答案了， 我們現在只做一件事：換一種寫法。做法是把散在式子裡的東西分成兩堆 —— 「我能決定的」跟「資料給定的」：

C 就是 03 關那個共變異數矩陣： 對角線是各自的變異數（C₁₁ = σ₁²、C₂₂ = σ₂²）， 非對角線是共變異數（C₁₂ = C₂₁ = Cov = ρσ₁σ₂）。 下標讀法：C_ij ＝「第 i 個跟第 j 個之間那一格」。它一定對稱，因為「X 跟 Y 一起動」和「Y 跟 X 一起動」是同一件事。

每一格 w_iw_jC_ij 攤開來看 （綠＝這一格讓風險變大，紅＝讓風險變小，紫框＝對角線的「自己那一項」）：

程式碼版本（就是上面那張表在做的事）

// C 是 n×n 的共變異數矩陣，w 是長度 n 的權重
// 寫法一：兩層迴圈，逐格加總 —— n = 2 是 4 格，n = 3 是 9 格，n = 100 是 10000 格
function quad(C, w) {
  let s = 0;
  for (let i = 0; i < w.length; i++)
    for (let j = 0; j < w.length; j++)
      s += w[i] * w[j] * C[i][j];
  return s;                       // 這就是 wᵀCw
}

// 寫法二：先 Cw 再內積 —— 跟數學式的讀法一致，也是 BLAS 實際在做的
const Cw = matVec(C, w);          // Cw[i] = Σⱼ C[i][j] * w[j]
const varp = dot(w, Cw);          // Σᵢ w[i] * Cw[i]

// 本頁 2×2 的部分直接用共用工具（不另外寫一份，兩份會 drift）：
// LAB.M.matVec(C, w) 與 LAB.M.quadForm(C, w)
// 3×3 的部分自己補兩層迴圈，因為 LAB.M 只做 2×2

這個寫法換來三件事

⑦ 工程師的「原來如此」

⑧ 踩坑

⑨ 這關回答了什麼