空間補完：span、秩、正交矩陣

① 你手上的問題：30 個欄位，卻沒有 30 個方向

你手上一張表，30 個欄位。你把它整包丟進去跑迴歸，結果程式沒爆但答案很怪： 係數大得莫名其妙、正負號跟常識相反、你重新抽一次樣本，係數整組換一批人。 更糟的版本是它真的爆了 —— Singular matrix、matrix is not invertible。

你翻回原始表格找兇手，發現裡面躺著這三欄：

「總分」不是一個新欄位，它是期中＋期末，一個字都沒多講。 你以為餵了 3 個線索進去，其實只有 2 個；第 3 個是前兩個的複製品， 而程式解方程式的時候被這件事整到 —— 它要找「唯一的一組係數」，但因為 期中係數 +1、期末係數 +1、總分係數 0 跟 期中 0、期末 0、總分 +1 給出完全一樣的預測，唯一解根本不存在。

問題不是數字錯，也不是模型爛。問題是：你沒有一把尺去量「這堆欄位真正有幾個方向」。 30 欄可能只有 2 個方向，也可能有 29.7 個方向（更陰險的那種）。

② span：兩根箭頭能走到哪

先給最小的例子：只有一根箭頭

你站在原點，手上只有一個動作可以重複做：沿著箭頭 a = (2, 1) 走。你可以走 3 次（走到 (6, 3)）、 走 0.5 次（走到 (1, 0.5)）、也可以倒退走 −2 次（走到 (−4, −2)）。

把「走 s 次」的所有結果 s·a 全部畫出來，你會得到什麼？一條穿過原點的直線。 不管你多努力調 s，你永遠碰不到 (0, 1) —— 它不在那條線上，而你只有這一個方向可以走。

加第二根箭頭：多一條巷子可以走

現在給你第二個動作：沿 b 走 t 次。你可以先沿 a 走 s 次、再沿 b 走 t 次， 最後落在 s·a + t·b。

這個式子有個名字：線性組合（linear combination）。 白話就是「兩個動作各做幾份，加起來」—— 跟調飲料一樣， a 是黑糖、b 是鮮奶，(s, t) 是配方，span 就是你這兩罐原料能調出的所有飲料。

所以這一段的結論是：span 就是「你這幾個動作能到的所有地方」。 它的大小不看你有幾根箭頭，只看那些箭頭指向幾個真正不同的方向。

③ 線性獨立：第二根箭頭有沒有帶來新東西

剛剛那個「b 轉到跟 a 同方向」的瞬間，塌下去的不只是圖，是資訊量。 這件事的正式名字是：

接回你那張表：「總分」就是這種箭頭

把 ① 那張表的每一欄看成一根箭頭（4 個學生 ⟹ 4 維空間裡的箭頭）：

注意這裡的 k 不必是整數、也不必只有兩欄。總價 = 單價 × 數量 是乘法、不算線性相依， 但 log(總價) = log(單價) + log(數量) 就是了 —— 取完 log 丟進線性模型的人常常自己踩到。 （為什麼取完 log 就從乘變成加：基礎 01 關 ④ 節。）

致命的是「幾乎共線」，不是「完全共線」

共線這件事是連續的，不是 yes/no。回去那張圖把 b 慢慢轉向 a，你會看到 det[a b] 從 4.89 一路縮到 0.3、0.05 —— 它不會突然變 0，是慢慢乾掉的。 這個「快共線但還沒共線」的狀態有個名字：多重共線性（multicollinearity）， 而它比完全共線更難搞，因為程式不會報錯。

看一個小到可以手算的例子。a = (1, 0)、 b = (1, 0.02)，det = 0.02，幾乎共線但沒有完全共線。 現在請它們湊出某個目標 y：

目標只動了 0.02，配方卻從 (1, 0) 一路翻到 (0, 1) —— 放大 50 倍（50 = 1 / det）。 在迴歸裡「配方」就是你的係數，於是你會看到：資料抖一下、係數整組換臉、正負號翻過來， 而 R² 看起來還很漂亮。這就是多重共線性的真面目：不是算不出來，是算出來的東西沒有意義。

所以這一段的結論是：線性相依＝有欄位在重複別人講過的話； 而「幾乎重複」比「完全重複」更危險，因為它不報錯，只是安靜地把你的答案放大成噪音。

④ 秩（rank）：真正撒得出來的維度數

換個角度看同一件事：矩陣 A 是一個動作， 它把整個平面上的每個點搬到新位置。rank 就是在問： 搬完之後，剩下的東西還是一整片平面，還是被壓成一條線了？ 最乾淨的看法是拿一個圓去測 —— 圓上的點朝每個方向都有，A 對每個方向做了什麼，一眼就看得到。

「回不去了」到底是什麼意思

rank 掉下去的那一刻，發生的事情是：一整條直線上的無數個點，被搬到同一個落點上。 紅虛線就是那條線的方向（正式名字叫核，kernel／null space）—— 沿著它走多遠都不影響輸出，所以輸出根本不知道你原本走了多遠。

這就是「不可逆」的真正意思：不是算式解不出來，是答案本來就不唯一。 給你一個落點，我沒辦法告訴你它從哪來，因為有無限多個來源都長成這樣。 04 關說 det 是面積倍率 —— 面積倍率 0 就是「把二維壓成一維」， 壓扁這件事沒有還原鍵。這也是 ① 那張表跑出 Singular matrix 的同一件事，只是換成 30 欄的版本。

所以這一段的結論是：rank 是「動作做完還剩幾維」的計數器。 rank 掉 ⟹ 有方向被壓成 0 ⟹ 資訊永久消失 ⟹ 回不去（不可逆）。

⑤ 正交矩陣 Q：唯一保證不弄壞形狀的變換

01 關講過「兩根垂直、長度 1 的軸」： q₁、q₂， 互相垂直（內積 0）、各自長度 1。現在做一件很機械的事 —— 把它們一根當第一欄、一根當第二欄，排成一個矩陣：

這種矩陣做出來的動作只有兩種：轉一下，或者轉一下再照鏡子。 它不能拉、不能壓、不能歪 —— 物理上就是剛體運動：拿起一個實心零件搬到別的地方， 零件本身一點都沒變形。

Q 的三個等價性質 —— 現場驗算給你看

教科書會丟三條式子給你。它們講的其實是同一件事，而且下面的數字是用你現在滑桿上的 Q 即時算的， 不是印死的：

所以這一段的結論是：Q 就是「兩根垂直單位軸排成的矩陣」， 它做的事是剛體運動（邊長、夾角、面積全保住），而它的反動作就是轉置 —— 免費、精確、永不失敗。

⑥ 複合變換：矩陣乘法就是動作接龍

到目前為止每張圖都只套一個矩陣。真實的東西是接龍的： 先剪切、再旋轉；或者先縮放、再鏡射。問題是 —— 接龍的順序有差嗎？

為什麼 A(Bx) 要從右往左讀

因為括號。x 是原圖上的一個點， Bx 是「B 先動它」的結果，然後 A 才拿這個結果去動。 所以離 x 最近的矩陣最先做 —— 這跟函式呼叫 a(b(x)) 一模一樣，你每天都在從裡往外讀，只是換了個寫法。

而矩陣乘法的定義就是為了讓這件事成立：(AB)x = A(Bx)。 也就是說 AB 這個「合成動作」＝ 先做 B 再做 A。 所以「矩陣乘法為什麼要這樣定義？」的答案是： 它不是規定，是為了讓「把兩個動作接成一個動作」剛好對得上。

所以這一段的結論是：矩陣相乘 = 動作接龍，寫法從右往左讀， 而順序換掉就是另一個動作。這也是為什麼 下一關的 Q₁ Σ Q₂^T 要照那個順序讀。

⑦ 平移擠不進 2×2：所以才有齊次座標

先實測一件事：2×2 一定把原點釘在原點

拿任何一個 2×2 矩陣去乘零向量：

所以「把整張圖往右移 3 格」這個動作，2×2 矩陣寫不出來： 它會要求原點跑到 (3, 0)，而我們剛剛證明原點動不了。 這不是找不到解法，是這個工具箱裡真的沒有這個工具。 也難怪你在 ⑥ 看到的每一格圖都是「以原點為軸」在轉在歪。

所以這一段的結論是：2×2 一定把原點釘死，所以平移得另外處理 —— 要嘛升到 3×3 用齊次座標把它吞進來，要嘛先去中心化把它消掉。

⑧ 數學長怎樣：先給程式，再給符號

本關四個概念，寫成程式各只有幾行。先讀程式，符號版在後面。

// ---- span：兩根箭頭能走到哪 ----
// span{a, b} 就是「所有 s·a + t·b 的集合」，s、t 掃過所有實數。
function combine(a, b, s, t) {
  return { x: s * a.x + t * b.x, y: s * a.y + t * b.y };
}

// ---- rank：真正剩幾個方向 ----
function rank2(a, b) {           // a、b 是矩陣的兩個「欄」
  const TOL = 1e-9;
  const na = Math.hypot(a.x, a.y), nb = Math.hypot(b.x, b.y);
  if (na < TOL && nb < TOL) return 0;      // 兩根都是零向量 → 只剩原點
  const det = a.x * b.y - a.y * b.x;        // = 兩根撐出的平行四邊形面積
  return Math.abs(det) < TOL ? 1 : 2;       // 面積 0 → 共線 → 只撐出一條線
}

// ---- 正交矩陣：檢查 QᵀQ 是不是單位矩陣 ----
function isOrthogonal(Q) {
  const G = LAB.M.matMul(LAB.M.transpose(Q), Q);   // G[i][j] = 第 i 欄 · 第 j 欄
  return Math.abs(G[0][0] - 1) < 1e-9 && Math.abs(G[1][1] - 1) < 1e-9
      && Math.abs(G[0][1]) < 1e-9;                // 對角線 = 長度² = 1，其他 = 內積 = 0
}

// ---- 齊次座標：把 2×2 + 平移 塞進一個 3×3 ----
function affine(A, t, p) {       // A 是 2×2、t 是平移、p 是點
  const q = LAB.M.matVec(A, p);                    // 線性部分（原點不動）
  return { x: q.x + t.x, y: q.y + t.y };           // 那個「1」的功勞：把 t 加上去
}

⑨ 本頁符號速查（畫面上出現過的每一個）

⑩ 工程師的「原來如此」

⑪ 踩坑

⑫ 這關回答了什麼