積分：面積與累積
這是微積分這一層的第二關（共五關）。
第一關問「這一點斜多少」，這一關問「這一段加起來總共多少」 ——
而 機率統計 02 關那塊「面積 ＝ 機率」、
機率統計 05 關那條 1 − e−t/2、
機率統計 01 關現場積出來的臨界值，全部都是這個問題。
這一關是微積分 02，不算在主線十六關裡，隨時可以插隊。唯一的前置是導數關的
② 差商（③ 節會用到它）。
① 這關在解什麼問題：先說積分拿來幹嘛
導數關給了你什麼
導數關回答的是「這一點斜多少」——
把一步切到無限細，除出來就是斜率。
這一關問的是反方向的問題：「這一段加起來總共多少」——
把一整塊切成無限多條，加起來就是面積。
兩個問題看起來無關，但 ③ 節會證明它們互為逆操作。
「積分」的用途只有一句話：算總量。而你在前面關卡已經算過四種總量：
- 機率：機率統計 02 ③「面積 ＝ 機率」那塊綠色的東西 —— 密度乘寬度加起來，就是「落在這段區間的比例」。
- 尾巴風險：機率統計 05 ⑤⑥ 的 1 − e−t/2：「超過這個馬氏距離的機率」是尾巴那一塊面積。
- 臨界值：機率統計 01 ⑨ 的 t 分布臨界值， 頁面「現場積出來」再二分反解 —— 信賴區間的那兩根界線就是這樣定的。
- 平均（期望值）：④ 節會做一次 —— 期望值就是密度那塊面積的重心橫座標，全景 01 關那句話的正名。
四件事的共同形狀都是「把很多小塊加起來」。 這一關把那個加法寫成 ∫，並說明為什麼「切得越細越準」。
積分在主線十六關的哪些地方已經被用掉了
| 在哪 | 用到什麼 | 你需要哪一節 |
|---|---|---|
| 機率統計 02 ③ | 面積 ＝ 機率，用 Simpson 切 800 段算出來；∫ 這個符號從沒出現過 | ② 黎曼和 |
| 機率統計 02 ④ | 「f 是 F 的斜率、f 是時速 F 是距離」 | ③ 基本定理 |
| 機率統計 05 ⑤ · ⑦ | 「½·e−t/2 積分起來就是 1 − e−t/2」、門檻 t = −2 ln α | ③ · ④ |
| 機率統計 01 ⑨ | t 分布臨界值「本頁現場積出來的」（Simpson ＋ 二分反解） | ② |
| 機率統計 01 ③ · 全景 01 | 期望值 ＝「密度那塊面積的重心橫座標」 | ④ 期望值 |
看得出一件事：這些頁面全部都已經在算積分了，只是用「切幾百段加起來」這種說法。 這一關給那個動作一個符號、一個名字，以及一條可以少切幾百段的捷徑（③）。
本頁符號對照表
微積分這一層有五關，你在第 02 關
五關沒有先後綁定（除了多變量關與規則關預設你讀過導數關）。卡在哪一關就讀對應那一關：
| 關 | 它回答什麼 | 誰在用 |
|---|---|---|
| 導數 | 「這一點斜多少」 | 最佳化 01 的梯度、最佳化 02 的影子價格、最佳化 03 的「導數設 0」、基礎 01 量過的 eˣ 斜率 |
| 積分（你在這裡） | 「這一段總共多少」 | 機率統計 02 的面積 ＝ 機率、機率統計 05 的尾巴、機率統計 01 的臨界值、期望值 |
| 多變量 | 「兩個以上的變數怎麼斜」 | 最佳化 01 ⑤ 的 ∇f、最佳化 01 ④ 的凸性、最佳化 03 ⑦ 的 2Cw、最佳化 02 的相切 |
| 規則 | 「不算極限，直接寫下導數」 | 02 ⑤ 的 2x、最佳化 02 ② 的 2(x−2)、機率統計 05 ⑤ 的 λe−λt、反向傳播 |
| 應用 | 「這些工具在 ML 與交易的哪裡」 | 選擇權 Delta / Gamma、softmax 與交叉熵、log 報酬的期望 |
② 積分 ＝ 面積的極限：把曲線底下切成無限多條
導數關給了你什麼 導數關整關都在講斜率：x 動一點、y 動多少。 這一關換一個方向問：這一整段加起來總共多少。 而你已經算過面積了 —— 機率統計 02 ③ 拖兩條界線圍出「這段區間的機率」， 那一頁誠實地說它「切 800 段用 Simpson 加起來，就是你在寫程式時算積分的那個土方法」。 那個土方法有名字，而且它就是積分的定義。
先用一個最笨的方法：拿長方形去填
要算一條曲線底下、從 a 到 b 之間的面積，最笨的辦法是： 把它切成 n 條等寬的長方形，每一條的高度取那一段左端的函數值，然後全部加起來。
f(xi) —— 第 i 條的高（取該段左端點的高度）。
f(xi) · Δx —— 一條長方形的面積（高 × 寬）。
Σ —— 把 n 條加起來。這整個東西叫黎曼和（Riemann sum）。
這個做法明顯不精確：長方形的頂是平的，曲線不是，所以每一條都會多算或少算一點。 但那個誤差會隨著 n 變大而縮小 —— 下面這張圖讓你把 n 從 1 拉到 1000。
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把幾個代表性的 n 抄下來（這些就是上面那張圖的讀數）：
| n | Δx | 長方形加起來 | 誤差 | 誤差怎麼變 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2.000 | 0.483941 | −0.198748 | — |
| 2 | 1.000 | 0.640913 | −0.041777 | 掉成 1/4.8 |
| 4 | 0.500 | 0.672522 | −0.010168 | 掉成 1/4.1 |
| 20 | 0.100 | 0.682286 | −0.000403 | — |
| 200 | 0.010 | 0.682685 | −0.0000040 | n ×10 → 誤差 ÷100 |
| 1000 | 0.002 | 0.682689 | −0.00000016 | — |
n 變兩倍、誤差掉成四分之一；n 變十倍、誤差掉成百分之一 —— 誤差跟 Δx² 成正比。 （這條曲線左右對稱、兩端高度剛好相同，左端點取法在這裡恰好等於梯形法， 所以收斂比一般情況快一階。換一條不對稱的曲線，誤差會只跟 Δx 成正比。 機率統計 02 ③ 用的 Simpson 更快，那是刻意選的。）
把 n 推到無限大：符號 ∫ 上場
a 與 b —— 從哪加到哪（積分下限與上限）。
dx —— 就是 Δx 被推到無限細之後的樣子。 它不是裝飾：它在宣告「沿著 x 這個變數切」，而且它讓單位對得起來 （機率統計 02 ③：密度「每 cm」乘上「cm」＝ 沒有單位的機率）。
整條式子讀作：「f 從 a 到 b 的積分」。
③ 微積分基本定理：面積的變化率就是高度
上一節與導數關給了你什麼 導數關給了斜率，② 節給了面積。 到目前為止它們是兩件不相干的事。 這一節說明它們其實是同一件事的正反面 —— 而這件事你在 機率統計 02 ④ 已經看過了：那一節寫著 「f 是 F 的斜率」、 「f 是時速、F 是走過的距離」。 那句話就是微積分基本定理，只是當時沒有署名。
先定義一個「累積函數」
裡面的變數改寫成 t 只是為了不跟上限的 x 撞名， 它叫什麼完全不影響結果。
機率統計 02 ④ 的 F(x) = P(X ≤ x) 就是這個東西， 起點 a 取負無窮。
然後問：F 的斜率是多少
照導數關 ② 的定義去量：把 x 往右推一小步 h，看 F 多了多少。
所以那塊面積 ≈ f(x) · h —— 就是 ② 節的一條長方形。
兩邊除以 h：
結論：累積函數的導數，就是被累積的那個函數本人。
微分與積分互為逆操作。兩個方向都成立：
- 先積再微，回到原樣：d/dx ∫ax f(t) dt ＝ f(x) —— 上面剛推完的那一條。
- 先微再積，也回到原樣：∫ab F′(x) dx ＝ F(b) − F(a) —— 這條的實用價值更大：要算面積，只要找到一個「微分之後等於 f」的函數 F， 然後把兩端相減就好，完全不用切 1000 條。
這跟 基礎 01 ③ 的 exp 與 ln 是同一種關係：兩個動作互相抵消。差別是 exp / ln 抵消的是「乘幾次」， 而微分 / 積分抵消的是「切細」與「加細」。
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因為它把「算面積」這個看起來要動用無限的動作，換成「找一個反過來微分的函數，再相減」。
機率統計 05 ⑥ 就是現成的例子：要算 ∫0t ½e−s/2 ds， 你不需要切一千條 —— 只要注意到 −e−s/2 微分之後正好是 ½e−s/2（那是 ex 的導數，見 導數關 ③）， 然後兩端相減：(−e−t/2) − (−e0) = 1 − e−t/2。 那條「積分起來就是」的斷言，到這裡就完整了。
反過來說，找不到那個 F 的時候就只能切 —— 常態分布的 F 沒有初等函數的寫法，所以 機率統計 02 ④ 與 機率統計 01 ⑨ 一律現場數值積分。 這不是偷懶，是那條曲線真的沒有捷徑。
④ 積分拿來算什麼：機率、尾巴、平均
前面兩節給了你什麼 ② 節給了怎麼算（切成 n 條加起來），③ 節給了捷徑（找一個微分之後等於 f 的函數，兩端相減）。 這一節把兩件事拿去做你在機率統計 05 關真的做過的那三件事：算一段機率、算尾巴機率、算平均。
用的例子是指數分布，因為它就是 機率統計 05 ⑤⑥ 那條式子本人：
t —— 等待時間。這條密度描述「下一件事還要等多久」。
形狀：t = 0 最高、往右指數衰減。機率統計 05 ⑤ 的 ½e−t/2 就是 λ = 0.5 這一組。
三個要算的量，全部都是積分：
P(T > T₀) ＝ ∫T₀∞ f(t) dt ＝ e−λT₀
E[T] ＝ ∫0∞ t · f(t) dt ＝ 1 / λ 第一行是已經發生的機率（左邊那塊面積）。它的捷徑來自 ③ 節： −e−λt 微分之後正好是 λe−λt， 兩端相減就得到 1 − e−λT₀。
第二行是尾巴，也就是「還沒發生」。它跟第一行加起來是 1（整條密度底下的面積永遠是 1）。
第三行是平均等待時間：把每個 t 用「它的密度」當權重加起來。 權重就是 f(t) dt，也就是那一小條的面積 —— 所以期望值就是那塊面積的重心橫座標。
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機率統計 05 ⑤ 要的是「把 95% 的點圈進來」的馬氏距離門檻。 翻成這一節的語言就是：讓尾巴只剩 5%。
第二步兩邊取 ln（基礎 01 ③ 的互逆）。
代 α = 0.05：t = −2 × (−2.9957) = 5.991 —— 就是機率統計 05 關那顆 95% 橢圓的門檻。把上面滑桿按「T₀ = 5.99」，紅色尾巴會剛好剩 5%。
所以那條「k = √(−2·ln α)」不是天上掉下來的： 它是「尾巴面積 ＝ α」這條積分方程反解出來的，而反解用的是 log。
⑤ 這關回答了什麼
一句話說，積分是什麼？
它是「高 × 寬」加起來，只是那個「寬」被切到無限細。 ② 那根滑桿就是全部證據：n = 1 條時算出 0.4839、n = 1000 條時算出 0.682689， 而真值是 0.6826895。切得越細越準，符號 ∫ 就是「切到無限細」的那個極限。
積分跟機率統計 02 關那塊「面積 = 機率」是什麼關係？
是同一件事，機率統計 02 關做的是它的數值版。 機率統計 02 ③ 把區間切 800 段、每段算「高 × 寬」再全部加起來， 那就是 ② 的 Σ f(xi) Δx。
所以那一節的每一句話都可以改寫成符號：「整條曲線底下的面積是 1」＝ ∫−∞∞ f(x) dx = 1；「a 到 b 之間的面積是機率」＝ P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x) dx。 符號沒有新增任何內容，它只是把你已經在做的事寫短一點。
微積分基本定理，用一句話講
面積的變化率就是高度。把累積到 x 的面積叫 F(x)， 那麼 F′(x) = f(x)。
為什麼：把 x 往右推一點點 h，面積多出來的是一個高 f(x)、寬 h 的細長條， 除以 h 就是 f(x)（③ 的雙圖現場量給你看）。 反過來用更有價值：要算面積，只要找到一個「微分之後等於 f」的函數，再把兩端相減。
那機率統計 05 關的 1 − e−t/2 到底是怎麼來的？
是把 ½e−t/2 積起來。用基本定理的第二個方向： 找一個微分之後等於它的函數 —— −e−t/2 剛好就是 （因為 e 的導數是自己，導數關 ③）， 然後兩端相減：(−e−t/2) − (−e0) = 1 − e−t/2。
而 ④ 那張圖讓你反過來玩：把尾巴壓到 5%，門檻自己跳到 t = 5.99 —— 那就是機率統計 05 關那顆 95% 橢圓。
期望值為什麼可以寫成積分？它跟「加權平均」一樣嗎？
一樣，它就是加權平均，權重是密度。離散的時候你寫 Σ x·P(x)；連續的時候機率被攤成密度，於是 P(x) 換成 f(x)dx（那一小條的面積）， 加總號換成 ∫，就得到 E[X] = ∫ x·f(x) dx。
幾何上它是面積的重心橫座標（全景 01 關那句話）。 ④ 的指數分布現場驗一次：積出來的平均永遠等於 1/λ， 而且它不在「一半機率」的位置 —— 尾巴會把重心往右拉。
這一關跟主線十六關、跟另外四關的關係是什麼？
對主線十六關：① 那張表列了五個位置，全部都是已經在算積分的地方 （機率統計 02 ③④、機率統計 05 ⑤⑦、機率統計 01 ⑨），這一關只給符號與捷徑。
對另外四關：導數關（斜率與變化率）是這一關的反面， ③ 證明兩者互逆 —— 而且 ③ 節整段都踩在導數的定義上， 沒讀過的話先去讀 導數關 ②。 多變量關（梯度與極值）跟這一關沒有依賴，兩邊可以隨便先讀哪一關。 規則關（微分規則與鏈式法則）是這一關的工具箱 —— ③ 的捷徑要「猜一個微分之後等於 f 的函數」，猜的時候用的就是那幾條規則 （④ 那條 λe−λt 前面的 λ 就是鏈式法則乘出來的）。 應用關（ML 與交易）把 ④ 的期望值 換成 log 報酬的語境（E[ln R]）。
你是為了 09 / 機率統計 05 關來的：回 機率統計 02 ④， 那句「f 是 F 的斜率」現在是一條定理，不是一個類比； 再回 機率統計 05 ⑤，那個門檻現在是你自己反解出來的。
你還沒讀導數關：去 導數關（斜率與變化率） —— 這一關的 ③ 節用到它的定義。
你要的是 13 / 最佳化 03 關的梯度：那在 多變量關（梯度與極值）， 跟這一關無關，可以直接跳過去。
你想看期望值用在真的地方：往 應用關 ④ —— 同一條積分，換成「log 報酬的期望」與虧錢機率。