五萬預算怎麼分：從四個價格一路算到 20 / 80
這是整套教材的實戰關卡：把前面主線十六關的工具全部用上一次。
前面主線十六關把工具一個一個磨好了，這裡只做一件事：把「五萬預算、兩支 ETF」這個真實問題
一步步算給你看 —— 從四個價格開始，一路算到「00919 一萬、00929 四萬」，中間不跳任何一步。
你會發現線性代數、機率統計、最佳化那幾組的東西，幾乎全部會在這一題上出現一次。
第一次讀這套教材可以先跳過這一頁 —— 主線十六關走完之後再回來練手，效果最好。
本頁是把一條完整的推導做成一關，不是投資建議。 00919 / 00929 在這一頁全程只是兩欄數字，20 / 80 是照一條固定規則算出來的數字，不是任何人推薦你買的比例。
而且要先知道一件事：這組數字是為了數學好算而刻意設計出來的。 它漂亮到可以說「如果真有這樣的資料，那結論就一定成立」—— 這一關會把「這個前提下成立」 跟「真實資料上會怎樣」兩件事分開講清楚，那就是 ⑩ 月數滑桿那一節存在的理由。
① 你有五萬預算，眼前兩個標的
先講具體的麻煩，不要先講數學。
你手上有 5 萬元，看上兩個標的：00919 和 00929 （在這一頁它們全程只是兩欄數字，代號記不住也沒差）。兩檔都想買，錢也剛好夠買兩檔。 問題只有一個：
各放多少錢？
- 兩邊各 2.5 萬？聽起來公平 —— 但「公平」憑什麼是對的？
- 全押最近漲比較多的那一檔？那你要一起吞下它抖得比較兇的那一面。
- 「3 萬 / 2 萬」跟「1 萬 / 4 萬」哪個好？你憑什麼判斷？
而且分法有無窮多個 —— 只要兩份加起來是 5 萬，任何一種都是候選，你不可能一個一個試過來。
這一題有一條算得出答案的固定做法。整條跑完，最後會落在 00919 一萬、00929 四萬（也就是 20 / 80）—— 這個數字不是憑感覺挑的， 而是一條流水線跑到底的結果：
這條線上每一格你都學過了。這一頁的價值在於把它們接起來跑一次， 並且在最後一格前面停下來問一句：特徵值那一段，到底有沒有參與「錢怎麼分」這個決定？ （答案在 ⑧，先玩到那裡再看。）
上面那條線出現的 Σ、λ 現在看不懂是正常的 —— 每一節都會在用到它的地方就地翻譯一次。 整條流水線的十三步速查表、還有整頁的符號表，都收在最後面的 附錄：需要對照時再去翻，現在不用先讀。
② 先把價格畫成看得見的錢
要決定錢怎麼分，先得有資料。這一題手上的資料就是兩檔各四個月的價格 —— 單位是元，畫成柱子就是看得見的錢：
00929：16.44 → 18.17 → 22.20 → 29.96 元 四個月的價格中間夾著三段漲跌 —— 這三段就是後面全部計算的原料。 （這四個價格是刻意挑出來的，為什麼挑成這幾個數字，③ 會講。）
- 你會看到什麼：
- 四個月 × 兩檔的價格柱狀圖（柱子高度就是價格），柱子上面是價格、下面是 「第 0 個月投 5 萬進去，到這個月會變成多少」。
- 你可以動什麼：
- 選要看哪一檔，以及要看哪一段（第 0→1、1→2、2→3 個月）。 選定之後，那兩根柱子之間會出現「×幾倍」的箭頭。
- 要看出什麼（本節唯一重點）：
- 報酬的單位是「倍數」，不是「差幾塊錢」。 20.09 → 22.20 差 2.11 元，聽起來很少；但它是變成 1.105 倍， 而 5 萬元跟著變成 5.53 萬 —— 決定你賺多少的是倍數，不是差價。
「差幾塊」沒辦法拿來比較
同樣漲 5 塊錢，起點不一樣，意義差很多：
| 從 | 漲到 | 差幾塊 | 變成幾倍 | 報酬 |
|---|---|---|---|---|
| 10 元 | 15 元 | +5 | 1.5 倍 | +50% |
| 100 元 | 105 元 | +5 | 1.05 倍 | +5% |
兩列的「差幾塊」一模一樣，但你拿 5 萬去買，第一列會變成 7.5 萬、第二列只會變成 5.25 萬。 所以整套教材談報酬時，永遠是在談倍數。倍數的算法就是相除：
00919 三個月分別是 1.105 倍、1.35 倍、1.65 倍； 00929 是 1.105 倍、1.22 倍、1.35 倍。 這組數字大得不像真的（一個月漲 65% 是誇張的）， 那是為了讓後面每一步都能心算 —— 記著這件事，不要把它當成市場常態。
③ 倍數相乘很難算，所以取 ln 把它變成相加
上一節確定了：報酬的單位是倍數。那三個月連續漲的總報酬怎麼算？ 不是把三個倍數加起來，而是乘起來：
乘法很不好處理。平均、變異數、內積 —— 後面十幾關的工具全部建立在加法上 （02 關那個「變異數才是可加的量」就是這個意思）。 所以我們需要一個把乘法變成加法的動作。那個動作就是 ln：
這一節的 ln 基礎在 基礎 01 關 ④ 節（那三條性質＋可以拖著對帳的滑桿）； 「e 的幾次方」這個問法本身在 基礎 01 關 ③ 節。 這一頁不重教，直接用。
把它套到那三個倍數上：
互動一：同一件事的兩種算法（相乘 vs 相加）
- 你會看到什麼：
- 上排是倍數的世界：價格一格一格 × 倍數往上跳； 下排是ln 的世界：同一段路變成 + 一個小數字。
- 你可以動什麼：
- 「累積到第幾個月」滑桿（1 → 3）：被算進去的那幾段會亮起來。
- 要看出什麼：
- 兩排永遠對得上。上排的乘積、下排的和，讀數盤會同時把 e相加的結果 算給你看 —— 兩個數字一路相等， 差距永遠是 0.000。取 ln 不是換一種報酬，是換一種記帳方式。
同一組價格的兩種畫法
把上面那件事畫成曲線就更清楚：價格是往上彎的（因為它在乘）， 但ln 價格是一節一節的直線段（因為它在加）。
價格模式下「這個月漲得比較多嗎」很難用眼睛比 —— 因為柱子越後面越高、 斜率會被起點放大。切到 ln 模式，同樣的漲幅就是同樣的高度差， 眼睛可以直接比較不同月份、甚至不同資產。這就是為什麼所有後面的計算都跑在 ln 的世界裡。
為什麼那四個價格挑得那麼奇怪：它們是「e 的次方」
回頭看 ② 那四個價格 20.09、22.20、29.96、49.40。 它們不是隨手挑的 —— 每一個都剛好是 e 的某個次方。 價格一旦寫成 e 的次方，ln 一取就只剩指數：
r = ln(Pt/Pt−1) = ln Pt − ln Pt−1 → 報酬 = 指數相減
第 1 個月：3.1 − 3.0 = 0.1 第 2 個月：3.4 − 3.1 = 0.3 第 3 個月：3.9 − 3.4 = 0.5
三個月合計：3.9 − 3.0 = 0.9（＝ 0.1 + 0.3 + 0.5，頭尾相減就好） 中間那一行用到 ln 的第二個性質：裡面相除 = 外面相減 （它其實就是 ln(a×b) = ln a + ln b 的另一面）。 把價格挑成 e³, e³·¹, e³·⁴, e³·⁹ 的用意就在這裡： 報酬直接用眼睛減就得到，不用按計算機 —— 下一節 ④ 開始要用的 0.1 / 0.3 / 0.5，就是這樣減出來的。
r = 0.1 → 漲 e0.1 ≈ 1.105 倍（+10.5%）； r = 0.5 → 漲 e0.5 ≈ 1.649 倍（+64.9%）。
當 r 很小的時候，log 報酬 ≈ 百分比報酬 （0.02 ≈ +2%），所以實務上兩者常被混著講。r 一大就差很多 —— 這裡的 0.5 絕對不是「+50%」，是 +65%。
互動二：橫向減 vs 直向減
最後一件事。這張價格表上有兩個方向可以減，只有一個方向減出來的是報酬：
- 你會看到什麼：
- 那八個價格寫成 e 的次方（上排 00919、下排 00929），以及箭頭指出「誰減誰」、減出來是多少。
- 你可以動什麼：
- 兩顆按鈕切換橫向減（同一檔、相鄰月份）與直向減（同一個月、兩檔相比）。
- 要看出什麼：
- 兩種減法的單位不一樣。橫向減出來的是「這檔自己漲跌多少」（可比較、可累加的報酬）； 直向減出來的是「兩檔的價差」—— 而且它算完之後後面再也沒用到。
橫向是時間方向，直向是資產方向。 我們要的是「每一檔自己的漲跌」，所以要沿著時間減 —— 這樣減出來的東西才叫報酬， 才能取平均、才能算變異數。
直向減出來的 0.2 / 0.2 / 0.3 / 0.5 是價差， 單位是「log 價格的差」，不是報酬。它可以拿來看「兩檔的差距在拉開」， 但它不是後面流水線的輸入 —— 算完就擱在那裡。
④ 平均與去均值：XA、XB 從哪裡來
橫向減之後，手上有兩組數字：
00929：r = (0.1, 0.2, 0.3) → μB = (0.1+0.2+0.3)/3 = 0.2 把 0.3 和 0.2 圈起來記住，它們是兩件事的輸入： 一是「期望報酬」（機率統計 01 關），二是接下來要扣掉的那個基準。
接著是 去均值（de-mean，也叫去中心化）：每個數字減掉自己那一欄的平均。
XB = (0.1, 0.2, 0.3) − 0.2 = (−0.1, 0, 0.1) X 是偏離量：這個月比自己的平均高多少 / 低多少。之後所有「變異數」「共變異數」 「主軸」都只吃 X，不吃原始報酬。
為什麼要先扣掉平均？因為「一起動」跟「平均多高」是兩個不同的問題。 我們要問的是「這個月 A 比自己平常高的時候，B 是不是也比自己平常高」—— 這句話裡的「比自己平常」就是去均值。02 關把這件事畫過： 平移資料不改變它的形狀，但會讓所有公式變乾淨（共變異數變成單純的內積）。
- 你會看到什麼：
- 兩條數線：上面是 00919 的三個月報酬，下面是 00929 的。三角形標記是各自的平均。
- 你可以動什麼：
- 一顆按鈕，把兩排數字整排平移到平均落在 0（也就是去均值）。
- 要看出什麼：
- 去均值只是把兩排點各自搬到原點，點與點之間的距離完全沒變。 搬完之後你會看到這一頁最關鍵的事實：XA 的偏離剛好是 XB 的兩倍。
XA = (−0.2, 0, 0.2)、 XB = (−0.1, 0, 0.1) —— XA = 2 × XB，一個乘法就對上，沒有任何誤差。
這組數字就是為了讓這件事看得見而設計的 —— 等一下 ⑤ 算出來的四格，比例會剛好是 4 / 2 / 2 / 1。 兩檔的報酬完全成比例，代表這兩欄其實只是同一個方向的兩個放大版本。 後面的 λ = 0、佔比 100%、Σ 不可逆，全部都是這一行的必然結果 —— 而不是三個獨立的發現。
⑤ Σ = XᵀX / (n−1)：每一格都是一個內積
下一步是 XᵀX。把 X 想成一張兩欄的表：
那四格不是四個新公式，是四個內積。這就是 01 關那個 「把對應位置乘起來再全部加總」的動作，做四次：
Σ = XᵀX / (n−1) = XᵀX / 2 = [[0.04, 0.02], [0.02, 0.01]] 對角線（左上、右下）是「自己跟自己內積」= 變異數； off-diagonal（右上、左下）是「兩欄互相內積」= 共變異數。 右上和左下一定相等，因為 XA·XB = XB·XA。
- 你會看到什麼：
- Σ 的四格，以及被選中那一格的逐項計算（三個月各乘一次、加起來、再除以 n−1）。
- 你可以動什麼：
- 點四格中的任何一格。
- 要看出什麼：
- 四格的算法一模一樣，只差「拿哪兩欄來配對」。 以及：右上和左下算出來一定同一個數字，所以 Σ 永遠對稱。
同一張表，這一頁叫 Σ，前面十五關叫 C，
統計課本叫 covariance matrix，寫程式的人叫 cov。四個名字，一個東西。
而它的意義只有一句：資料形狀說明書。 對角線說「每一欄自己多散」，非對角線說「兩欄一起動的程度」—— 03 關把這句話畫成圖過。
⑥ λ = 0 與 λ = 0.05：那個「100%」是怎麼來的
接著解特徵方程式。兩階的情況可以純手算：
(0.04 − λ)(0.01 − λ) − 0.02² = 0
λ² − 0.05λ + (0.0004 − 0.0004) = 0
λ² − 0.05λ = 0 → λ(λ − 0.05) = 0 → λ = 0 或 λ = 0.05 I = 單位矩陣（對角線 1、其他 0）。 det(Σ − λI) = 0 這一行是 04 關的定義式： 「找到那些方向，Σ 對它們只做拉長、不做轉向」。注意常數項剛好抵銷成 0 —— 這不是巧合，見下面。
兩個特徵向量也算得出來，而且各有一個在金融裡常見的叫法：
| λ | 特徵向量 | 常見的叫法 | 人話 |
|---|---|---|---|
| 0.05 | (2, 1)/√5 | 大盤 | 兩檔同時往同一邊動，而且 00919 動的幅度是 00929 的兩倍。這組資料的全部變異都在這個方向上。 |
| 0 | (1, −2)/√5 | 產業輪動 | 一個漲、另一個跌（方向相反）。這個方向的變異數是 0 —— 在這三個月裡，這種事一次都沒發生過。 |
於是就有了那個「100%」：λ = 0.05 佔了總變異的 100%。 總變異就是兩個特徵值加起來（也等於對角線相加，0.04 + 0.01 = 0.05）， 而第二個特徵值是 0，所以第一個當然佔 100%。
互動：把方向轉一圈，看變異數怎麼變
- 你會看到什麼：
- 左圖是去均值後的三個月（橫軸 00919 的偏離、縱軸 00929 的偏離）， 加上一根你可以轉的方向箭頭與每個點投影到它上面的落點； 右圖是「轉到每個角度時，投影後的變異數有多大」那條掃描曲線。
- 你可以動什麼：
- 角度滑桿 θ（0°~180°），或兩顆按鈕直接跳到最大 / 最小那個方向。
- 要看出什麼：
- 三個點完全落在一條直線上。所以轉到那條線的方向時變異數最大（0.05 = 100%）， 轉到跟它垂直時，三個點的投影全部疊在原點 —— 變異數精準等於 0。 這就是 λ = 0 的圖像意義。
回頭看 ④ 那一行：XA = 2 × XB。 兩欄完全成比例，代表這張表其實只有一欄的資訊，另一欄是它乘 2。 所以：
- det Σ = 0.04 × 0.01 − 0.02² = 0.0004 − 0.0004 = 0 —— 剛好抵銷，這就是上面那條方程式常數項消失的原因。
- Σ 的秩是 1：兩欄只撐出一條線，不是一個面。
- 所以第二個特徵值必須是 0，第一個必然佔 100%。
這正是乾淨的單因子結構：兩檔資產完全由同一個方向驅動。 λ = 0.05 是那個共同方向，λ = 0 表示「沒有第二個獨立方向」。 這組數字是為了數學好算而設計的 —— 在這個前提下， 「如果真有這樣的資料，那就照它買」這句話是講得通的：資料裡確實只有一個方向，沒有第二種可能。
這一關要補的是下一句：真實資料幾乎不會這麼乾淨。 三個月的報酬、扣掉平均只剩 2 個自由度，卻要估 2 檔資產的 3 個參數 —— 這正是 機率統計 05 關踩坑 1說的「樣本數沒有遠大於要估的參數」。 所以這一關的主互動就是讓你把月數拉大，看這個乾淨結構在真實規模下會變成什麼（⑩）。
det Σ = 0 的直接後果是 Σ 不可逆 （06 關那個 Singular matrix 在這裡真的出現了）。 這件事很有殺傷力，因為投資組合最有名的那條公式 w ∝ Σ−1μ（最佳化 03 關在解的東西） 當場沒辦法算。
全景 01 關那句 「秩不足會讓 C 出現 λ=0、不可逆，任何要用 C⁻¹ 的方法當場翻車」—— 這一頁就是那句話的具體案例。所以這條流水線走的是另一條路（⑧ 的反變異數加權）， 那條路只需要對角線，剛好繞過這個問題。
⑦ 門檻 0.03：這一節只把它當一個常數
推導的第 11 步是 RMT 降噪，用一條線 λm = 0.03 把特徵值分兩堆：
λ₂ = 0 < 0.03 → 壓成 0（判定為雜訊）
Λc = diag(0.05, 0) Λc 讀作「降噪後的 lambda 對角矩陣」， c 是 cleaned。diag(a, b) = 對角線放 a、b，其他位置是 0。
- 你會看到什麼：
- 一條特徵值的數線，門檻 0.03 畫成一條虛線，兩個 λ 各自落在線的哪一邊。
- 你可以動什麼：
- 這張圖沒有東西可以動 —— 這一節刻意不給滑桿，因為門檻在本關是給定的常數。
- 要看出什麼：
- 降噪這個動作本身很單純：畫一條線，線上留、線下砍。 難的不是砍，而是「線該畫在哪」，那是本關不教的部分。
「有一條線，超過算訊號、低於算雜訊」這個想法本身是合理且常見的。 本關把 0.03 當成一個給定的常數來用，就這樣，不多解釋 —— 因為那條線背後是隨機矩陣理論（RMT：純雜訊資料的特徵值會落在哪個範圍）， 要講清楚需要另外一整關。
這裡值得記住的是 機率統計 05 關那句話的通用版： 門檻是產品決策，不是數學結論。數學可以告訴你「純雜訊大概會長到多大」， 但「要不要砍」永遠是你替這個系統做的選擇。
選讀附註：這條線的正式版本（不進主軸，想跳過可以跳過）
這條門檻的正式版本是 Marchenko–Pastur 分布的上緣： 如果一張表完全是雜訊，它的共變異數矩陣的特徵值會落在一個可以算出來的範圍內， 上緣大約是 σ²(1 + √(N/T))²（N = 資產數、T = 期數）。 超過上緣的特徵值才「不像純雜訊」。
但它是「資產數與期數都很大」時的漸近結果 —— 2 檔 × 3 個月離那個規模差得非常遠。所以本關只把 0.03 當成一個常數示範「降噪長什麼樣」， 不拿它去判定這組資料。這也是為什麼這一節沒有滑桿：給你拉，等於在暗示這個數字對這組資料有意義。
⑧ 20 / 80 是怎麼來的：反變異數加權
最後三行，才是真正決定「錢怎麼分」的地方：
1 / 0.01 = 100 ← 0.01 是 Σ 右下角，00929 的變異數
25 / 125 = 20% 100 / 125 = 80% 這叫反變異數加權（inverse-variance weighting）：波動越大、給越少。 分母 125 = 25 + 100，只是把兩個數字normalize成加起來 1。
落地就是：00919 一萬元、00929 四萬元。
看清楚上面那三行用到什麼：只有 Σ 對角線的兩個數字。 特徵值 0.05、特徵向量 (2,1)/√5、大盤、產業輪動、Λc —— 一個都沒進去。
所以「看到 λ 就說要投資」中間不是一步推論，那裡是兩件不同的事： 特徵值那一段在解釋資料的結構（這兩檔其實是同一個東西的兩個放大版）， 產生權重的是另一條路（只看各自波動大小的反變異數加權）。 如果你剛才覺得中間有個跳躍 —— 你是對的，那裡確實有。
- 你會看到什麼：
- 兩條「1 / 變異數」的長條，以及它們換算出來的權重與金額。
- 你可以動什麼：
- 假想把 00919 的變異數調大調小（00929 固定在算出來的 0.01）。
- 要看出什麼：
- 這條規則只認波動、不認報酬。把 00919 的變異數調到跟 00929 一樣（0.01）， 權重立刻變成 50 / 50；調到很大，它的權重就趨近 0。報酬 0.3 完全沒有出現在這個式子裡。
⑨ 主互動一：自己拖比例，看風險與報酬怎麼動
反變異數加權給了一個答案（20 / 80），但那只是所有可能分法裡的一個點。 這個互動讓你把整條可能性走一遍。用的公式就是 機率統計 03 關推出來、 最佳化 03 關整關在壓的那兩個：
組合風險 wᵀΣw = 0.04wA² + 2(0.02)wAwB + 0.01wB² 下標 p = portfolio（整包）。wB = 1 − wA， 因為錢就這麼多。wᵀΣw 是變異數，開根號才是波動 σp。
- 你會看到什麼：
- (風險 σp, 報酬 μp) 平面。所有分法連成的軌跡，加上四個標好的位置： 全押 00929、全押 00919、反變異數加權的 20/80、以及那個風險為 0 的位置。
- 你可以動什麼：
- 直接拖圖上那顆綠點，或用滑桿。範圍刻意開到負數與超過 100% （負的 = 放空，就是 最佳化 03 關那個 wi < 0）。
- 要看出什麼：
- 軌跡是折線，不是弧線。最佳化 03 關那條漂亮的弧在這裡塌成兩段直線 —— 因為這兩檔的相關係數是 1.000（完全同步），混起來一點分散效果都沒有。 而折點碰到縱軸（σ = 0）那件事，是這組資料被設計出來的直接後果。
拖到 wA = −100%（放空一份 00919、買兩份 00929）時， wᵀΣw 精準等於 0。而那個權重方向 (−1, 2) 正是 λ = 0 的特徵向量 (1, −2) 的反向 —— 「變異數為 0 的方向」跟「風險為 0 的組合」是同一件事的兩種說法。這個對應關係很漂亮，值得記住。
但它只在這組被設計成完美成比例的資料上成立。 真實資料裡 λ₂ > 0，這個零風險組合就不存在了 —— 你可以在 ⑩ 把月數拉大，親眼看它的風險從 0 慢慢長出來。 再次提醒：這不是投資建議，這是在讀一個數學結構。
⑩ 主互動二：把「用幾個月的資料」拉大（本關的論點）
到這裡整條流水線已經走完了。剩下最後一個問題，也是這一關真正想回答的：
如果不是三個月，而是十二個月、六十個月，這整套算下來會長什麼樣？
這不是要挑前面那條算法的毛病 —— 三個月是為了教學而挑的，教學就該挑好算的。 但既然前面主線十六關都在講「C 是估出來的」， 那就應該親眼看一次：乾淨的設計資料與真實規模的資料差在哪。
前三個月就是前面用的那三個月，一個數字都沒改 （00919 的 0.1 / 0.3 / 0.5、00929 的 0.1 / 0.2 / 0.3）。 所以把滑桿拉到 3，你會精準看到前面算出來的 Σ、λ = 0 / 0.05、100%、20 / 80。
第 4 個月以後，用一個固定 seed 的亂數產生器（mulberry32）接下去，機制是一個單因子模型：
共同因子 f ~ 常態(0, 1) // 「大盤」那個方向
00919 的月報酬 = 0.3 + 0.2·f + s·a // a、b 是各自的獨立雜訊（常態）
00929 的月報酬 = 0.2 + 0.1·f + s·b // 係數 0.2 : 0.1 = 2 : 1，跟前三個月同一個比例
s = 0.03 → 0.22，隨月份線性變大 // 「兩檔各自的產業因素慢慢跑出來」兩件事要說明白：① 係數 2:1 是照前三個月設的，所以「大盤」這個共同方向一直存在， 不是被我們拆掉的；② 雜訊隨月份變大是我們刻意安排的，目的是讓你能連續看到結構 「從乾淨走到不乾淨」，而不是一步跳過去。真實資料不會這麼聽話 —— 這一點必須誠實講。 整池 60 個月是固定的（seed 固定），滑桿只決定你「用前面幾個月」，不會重新抽。
mulberry32 · seed = 20260814 · 固定 60 個月- 你會看到什麼：
- 左圖是去均值後的每個月（橫軸 00919、縱軸 00929）加上兩根主軸； 右圖是「λ₁ 佔比」隨月數變化的曲線，虛線是 100%。右邊讀數盤是整條流水線的即時重算。
- 你可以動什麼：
- 月數滑桿 3 → 60，或四顆預設按鈕（3 / 12 / 24 / 60）。
- 要看出什麼（四件事，一次看）：
- ① λ₂ 從 0 變成正數：第二個方向長出來了； ② det Σ 離開 0，於是 Σ−1 從「算不出來」變成「算得出來」； ③ 那個 100% 掉下來； ④ 反變異數加權的 20 / 80 也跟著搬家 —— 權重本來就是估計值。
三個一定要自己拉一次的位置
| 月數 | Σ 與 λ | Σ−1 | 怎麼解釋 |
|---|---|---|---|
| 3 | λ₂ = 0、佔比 100.0%、det = 0 | 算不出來 | 原本那三個月，一個數字都沒改。兩檔完全成比例，資料裡只有一個方向 —— 這是設計出來的乾淨。 |
| 12 | λ₂ 已經是正數、佔比掉到 97% 附近 | 算得出來 | 第二個方向出現了。「一個因子解釋 100%」這句話不再成立， 但共同因子還是很大 —— 結構真的存在，只是不再是全部。 |
| 60 | 佔比 75% 上下、λ₂ 明顯 | 算得出來 | 結構還在（四分之三的變異仍然來自同一個方向），但「照它買」那句話的前提已經鬆掉了： 現在有第二個方向，而且它有真實的大小。 |
「找到一個能解釋過去 100% 變異的方向」和「這個方向未來會賺錢」是兩個不同的敘述。
前者是對已經發生的資料做座標軸重排（05 關的 PCA， 只要有資料就一定算得出來，而且一定有一個「最大」的方向）； 後者需要這個方向在樣本外也站得住 —— 那是完全另一件事。
在刻意設計的單因子資料上，兩者被畫上等號是合理的：資料裡真的只有一個方向。 在真實資料上，中間要補的就是 最佳化 03 關踩坑 1 「歷史報酬不是未來報酬」與 全景 01 關那句 「C 是用過去的樣本估的」。這一關的價值不是推翻前面的算法，是把它的適用範圍講清楚。
⑪ 這關回答了什麼
先自己回答，再點開對答案。答不出來的那條，上面一定有對應的互動可以回去再玩一次。
為什麼看到 λ 這個資料，就會有「可以投資、100% 要投資」的結論？我不懂這個推論的依據。
因為那裡確實有兩件不同的事被接在一起，中間沒有一步推論。
把 ⑧ 最後三行單獨看：1/0.04 = 25、 1/0.01 = 100、25/125 = 20% —— 只用到 Σ 對角線的兩個數字。特徵值、特徵向量、大盤、產業輪動、Λc 都沒有出現在裡面。
所以正確的讀法是：特徵值那一段在解釋「這兩檔其實是同一個東西的兩個放大版」， 產生權重的是另一條路（反變異數加權）。你覺得中間有跳躍，是因為那裡本來就是兩件事。
至於「100% 要投資」那個 100%，指的是一個方向解釋了過去全部的變異， 不是「應該 100% 押下去」。而且那個 100% 是這組資料被設計成的樣子（⑥）， 月數一拉大就會掉下來（⑩）。
橫向減與直向減，差別在哪？為什麼推薦橫向那個？
橫向是沿著時間減，出來的是報酬；直向是沿著資產減，出來的是價差。
橫向減（ln Pt − ln Pt−1） 回答「這一檔這個月自己漲跌多少」，單位是報酬 —— 可以比較、可以取平均、可以算變異數， 後面整條流水線吃的都是它。
直向減（同一個月、兩檔的 log 價格相減）回答「兩檔的差距多大」，單位是價差。 它算出來是 0.2 / 0.2 / 0.3 / 0.5，然後就沒再用到。 它不是錯的，只是不是這條流水線要的輸入。可以在 ③ 切換兩種模式看清楚。
為什麼價格要寫成 e 的次方？Pt / Pt−1 是什麼意思？
Pt/Pt−1 是「這個月變成上個月的幾倍」。 取 ln 之後，倍數的乘法變成加法。
三個月連續漲，總倍數是三個比值相乘；取 log 之後就是三個 log 報酬相加。 這一頁故意把價格挑成 e³, e³·¹ 這種剛好是 e 的次方的數，是為了讓 ln(Pt/Pt−1) 直接等於指數相減 —— 心算就看得出報酬，不用按計算機。
順帶記住尺度：r = 0.5 代表這個月漲 e0.5 ≈ 1.65 倍， 也就是 +65%。這組報酬大得不像真的，那是為了好算，不是市場常態。
去均值（de-mean）是什麼意思？為什麼要先減掉平均？
去均值 = 每個數字減掉自己那一欄的平均，把「絕對水準」換成「比自己平常高多少」。
因為我們要問的是「A 比自己平常好的時候，B 是不是也比自己平常好」—— 這個問題跟兩檔各自平均多高無關。扣掉平均之後， 共變異數就退化成單純的內積，公式全部變乾淨。
而且在這組資料上，去均值之後立刻看到關鍵事實： XA = (−0.2, 0, 0.2) 剛好是 XB = (−0.1, 0, 0.1) 的兩倍 —— 後面所有「λ=0、100%、不可逆」都是這一行的結果（④）。
共變異數矩陣 Σ = XᵀX/(n−1) 的每一格是什麼？
每一格都是一個內積，除以 n−1。
左上 = XA·XA/2 = 0.04（00919 自己的變異數）； 右下 = XB·XB/2 = 0.01（00929 的變異數）； 右上 = 左下 = XA·XB/2 = 0.02（兩檔的共變異數）。 四格的算法完全一樣，只差「拿哪兩欄配對」，可以在 ⑤ 一格一格點開看。
除以 n−1 = 2 而不是 3，理由在 機率統計 01 關：平均是從同一批資料估出來的，用掉一個自由度。 三個月扣掉平均之後，其實只剩 2 個自由度。
λ = 0 和 λ = 0.05 分別代表什麼？「0.05 佔 100%」在這組資料上是什麼意思？
λ 是「那個方向上有多少變異」。0.05 是唯一有變異的方向，0 代表另一個方向完全沒有變異。
圖像版本在 ⑥：三個月的點完全落在一條直線上。 沿著那條線看，散開程度是 0.05；轉 90° 垂直看過去，三個點的投影全部疊在一起，散開程度 0。
「佔 100%」就是 0.05 / (0.05 + 0) = 1。 它是這組資料被設計成的樣子（兩欄完全成比例 → 秩 1 → 第二個 λ 必須是 0）， 不是一個意外的發現。真實資料不會這樣，把 ⑩ 的月數拉大就看得到。
第二個特徵向量為什麼可以叫「產業輪動」？
因為它的方向是「一個漲、另一個跌」。
第二個特徵向量是 (1, −2)/√5：第一個分量正、第二個負。 兩檔往相反方向動，這種型態用金融的語言叫「資金從一邊輪到另一邊」，所以叫產業輪動； 第一個特徵向量 (2, 1)/√5 兩個分量同號，兩檔一起動，所以叫大盤。
名字是人給的，數學只給方向。數學說的是「這是變異數第二大的正交方向」； 「產業輪動」是把那個方向翻譯成領域語言。這組資料上它的 λ 是 0 —— 意思是這三個月裡這種事一次都沒發生過。
RMT 的門檻 0.03 怎麼用？為什麼這一關不教它是怎麼算出來的？
用法只有一句：超過算訊號、低於算雜訊（壓成 0）。 所以 0.05 留下、0 被砍掉，得到 Λc = diag(0.05, 0)。
不教理論的理由是：那條線的正式版本是 Marchenko–Pastur 上緣， 它是「資產數與期數都很大」時的漸近結果，而 2 檔 × 3 個月離那個規模差太遠 —— 拿它去判定這組資料是誤用。所以本關把 0.03 當成一個給定的常數，只示範「降噪長什麼樣」 （⑦，那一節刻意沒有滑桿）。
要記的通用句在 機率統計 05 關：門檻是產品決策，不是數學結論。
20 / 80 到底怎麼算出來的？為什麼不用 w ∝ Σ−1μ 那套？
20/80 是反變異數加權：權重正比於 1/變異數。 1/0.04 = 25、1/0.01 = 100， 25/125 = 20%、100/125 = 80%。波動越大、給越少。
不用 Σ−1μ 的原因很具體： det Σ = 0，Σ 不可逆，那條公式當場算不出來 （06 關的秩不足在這裡真的發生了）。 反變異數加權只需要對角線兩個數字，剛好繞過反矩陣 —— 它是這種情況下的合理選擇。
把 ⑩ 的月數拉大，你會看到 Σ−1 從「算不出來」變成「算得出來」，那條公式也就重新可用了。
期望報酬明明算了（0.3 和 0.2），為什麼沒有進入配置？月數拉大之後 20/80 會怎樣？
因為反變異數加權只看波動、不看報酬。所以報酬較高的 00919 反而只拿 20% —— 這不是矛盾，是這個規則的定義。
期望報酬在這一頁只出現在兩個地方：一是第 4 步算出來（④）， 二是 ⑨ 的縱軸。它沒有進入權重公式。 想讓報酬影響權重，就得用 Σ−1μ 那一族方法 —— 而那需要 Σ 可逆。
至於月數拉大：20/80 會跟著搬家（⑩ 的讀數盤會即時算給你看）。 這件事本身就是重點：權重不是一個事實，它是一個估計值， 而估計值會隨著你用多少資料而改變。這正是 最佳化 03 關踩坑 2 「C 的估計誤差會讓權重亂跳」的最小案例。
這條推導每一步都對。它唯一的前提是「資料真的長成這樣」 —— 兩檔完全成比例、只有一個方向、第二個方向精準等於 0。 前面主線十六關給你的工具，剛好足夠讓你自己去檢查那個前提還在不在。
附錄
下面兩張表是查用的，不是讀用的：想從頭核對那十三步、 或畫面上哪個符號不認得，回來這裡翻。
附錄：推導速查與符號表（需要時再展開）
推導速查：十三個步驟
下面這張表把整條推導壓成一頁，每個數字都用程式重算過。 最右欄是「這一步是哪一關教的」—— 這就是為什麼這一頁擺在主線十六關之後。
| # | 這一步在做什麼 | 數字 | 哪一關 |
|---|---|---|---|
| 1 | 設定價格情境 | 00919：e³ → e³·¹ → e³·⁴ → e³·⁹ 00929：e²·⁸ → e²·⁹ → e³·¹ → e³·⁴ | 本頁 ② |
| 2 | 橫向減：同一檔、相鄰月份相減 = log 報酬 | 00919：0.1, 0.3, 0.5 00929：0.1, 0.2, 0.3 | 本頁 ③ |
| 3 | 直向減：同一個月、兩檔相減 = 價差 | 0.2, 0.2, 0.3, 0.5 （算完之後沒再用到） | 本頁 ③ |
| 4 | 取平均 | 00919：0.3 00929：0.2 | 機率統計 01 期望值 |
| 5 | 去均值向量 | XA = (−0.2, 0, 0.2) XB = (−0.1, 0, 0.1) | 02 去中心化 |
| 6 | 算 XᵀX | [[0.08, 0.04], [0.04, 0.02]] （比例剛好是 4 / 2 / 2 / 1） | 01 內積 |
| 7 | 除以 n−1 = 2 | Σ = [[0.04, 0.02], [0.02, 0.01]] | 03 共變異數矩陣 |
| 8 | 解特徵方程式 | λ² − 0.05λ = 0 → λ = 0 和 0.05 | 04 特徵值 |
| 9 | 標「100%」 | 0.05 佔總變異 100% | 05 PCA |
| 10 | 求特徵向量並命名 | λ=0.05 → (2, 1)/√5「大盤」 λ=0 → (1, −2)/√5「產業輪動」 | 05 主軸 |
| 11 | RMT 降噪：門檻 λm = 0.03 | 0.05 > 0.03 留下、0 < 0.03 判為雜訊 | 本頁 ⑦ |
| 12 | 算出配置（反變異數加權） | 1/0.04 = 25、1/0.01 = 100 25/125 = 20%、100/125 = 80% | 機率統計 03 · 最佳化 03 |
| 13 | 落地 | 00919 一萬元、00929 四萬元 | — |
0.1 / 0.3 / 0.5 是三個月的 log 報酬，0.3 是它們的算術平均 —— 整條推導裡沒有出現任何機率加權，所以第 4 步只接 機率統計 01 關的期望值定義，不接機率加權那一節。
整頁的符號表（看不懂就回來這裡）
只列看懂這一頁必須認得的符號，其他一次性的記號在出現的那一節就地翻譯過了：
| 符號 | 唸法 / 中文 | 就是在講 |
|---|---|---|
| Pt / Pt−1 | 這個月 / 上個月的價格 | 本頁那組 20.09、22.20、29.96、49.40。t 是月份編號。 |
| ex | e 的 x 次方 | e 是一個固定的數字（≈ 2.71828），跟 π 一樣是常數。本頁那四個價格剛好都是 e 的次方，這樣取 ln 就直接讀到指數。 |
| ln | 自然對數 | 「e 的幾次方」的反問。ln e³ = 3，所以次方寫法跟 ln 是一對。 |
| r | log 報酬 | rt = ln(Pt / Pt−1)，也就是指數相減。0.1 = 「這個月漲了 e0.1 ≈ 1.105 倍」。 |
| μ | mu，平均 / 期望報酬 | 三個月報酬的算術平均。00919 是 0.3、00929 是 0.2。 |
| σ | sigma，標準差 | 抖多大。小寫 σ 是一檔（或一個組合）的標準差，大寫 Σ 是整組的矩陣，別看混。 |
| n−1 | 樣本自由度 | 三個月所以除以 2。理由在 機率統計 01 關：平均是估出來的，用掉一個自由度。 |
| Σ | 大寫 sigma，共變異數矩陣 | Σ = XᵀX / (n−1)。前面十五關叫它 C，本頁寫 Σ，同一個東西。 |
| λ | lambda，特徵值 | 「這個方向上有多少變異」。這組資料解出 0.05 和 0。 |
| w | 權重 | 錢怎麼分。w = (0.2, 0.8) 就是「一萬 / 四萬」。加起來是 1。 |