一堆數字有多散，怎麼變成一個數字

① 這關在解什麼問題

兩家公司都在徵人，兩邊的職缺都寫「平均月薪 5 萬」。 甲公司 15 個人，每個人都領 5 萬。乙公司 15 個人，老闆領 40 萬，其他 14 個人領 2.5 萬。 平均數一模一樣，都是 5 萬。

你會想去的公司不一樣，可是「平均」這個數字完全看不出差別。 因為平均只回答了一件事：中心在哪。它一個字都沒說大家離中心多遠。 這一整關就是在補這個洞：把「離中心多遠」也壓成一個數字。

② 從你國中就會的兩個東西開始

錨點零：先認幾個符號（這一整頁從頭到尾只會用到這幾個）

符號不是拿來嚇人的，每一個都只是某句中文的縮寫。這張表看過一遍，後面就不會卡在「那個字母是什麼」。

後面還會冒出 s²、s、σ、n − 1、c、MAD —— 那幾個各自在第一次出現的地方就地解釋，這裡先不塞。

錨點一：平均數 = 翹翹板的支點

國中自然課的力矩：一根板子上掛幾個一樣重的砝碼，支點要放在哪才會平衡？ 答案是放在重心，而重心的位置就是所有砝碼位置的平均。 平衡的意思是「左邊的力矩 = 右邊的力矩」，換成數字就是： 所有「往左偏的量」加起來，剛好等於所有「往右偏的量」。

錨點二：正方形的面積

左右力矩會相等，代表「把偏差直接加起來」永遠是 0 —— 這個量廢掉了，沒辦法拿來衡量散開。 那就換一招，用國中另一個你熟到不行的東西：正方形。

每個人離平均多遠，就畫一個邊長 = 那段距離的正方形。離得遠的人，正方形又大又醒目； 離得近的人，正方形小到幾乎看不見。然後問一句：

這就是為什麼一件事要有兩個名字：變異數住在「面積」的世界，標準差住在「長度」的世界。 面積好算（可以加、可以拆），長度好懂（跟資料同單位）。下面你會親手看到這兩個世界同時被畫出來。

③ 主實驗：七個人的薪水，兩張圖同時看

上圖每一列是一個人：青色點是他的薪水，紅色線段是他離平均多遠（偏差）， 橘色直線是平均，底下那把綠色的尺是 x̄ ± σ。 下圖把每一段紅線段變成一個紅色正方形（邊長 = 偏差），綠色正方形的面積就是它們的平均面積。

④ 去中心化：把整組資料搬走，散開程度紋風不動

現在做一件看起來很無聊的事：把七個人的薪水全部加上同一個數字（全公司一起調薪，或者只是換一個記帳的原點）。 直覺上「大家離彼此多遠」不該有任何改變 —— 這個直覺是對的，而且它是後面 PCA 第一步的全部理由。

⑤ 為什麼要平方？三種「散開的定義」現場對決

「離中心多遠」可以有很多種定義方式。下面三個都是合法的候選，用同一組資料算給你看，你自己選。

表格裡的 MAD 是 mean absolute deviation，中文叫「平均絕對偏差」： 把每個人的偏差先取絕對值（丟掉正負號）再平均。它是跟變異數互相競爭的另一個候選答案，不是變異數的一部分。

(a) 為什麼一定是 0 —— 這不是巧合

切到 (a) 看圖下面那條鏈子：把七個偏差首尾相接，最後一定準確回到原點。 因為平均就是支點，支點的定義就是「左力矩 = 右力矩」。 也就是說 (a) 這個量不是「有時候是 0」，而是對任何資料都恆等於 0。 它量不到任何東西 —— 這就是「必須先做點什麼再相加」的理由，而平方是最便宜的那個做法。

(b) 絕對值也是合法的尺，別被騙說它不行

MAD（mean absolute deviation）真的可以用，也真的有人在用（穩健統計、L1 loss、MAE）。 它甚至有一個平方比不上的優點：對離群值沒那麼敏感。誠實講：如果你只想要一個「大家平均離中心多遠」的直覺數字，MAD 更誠實。

(c) 平方贏在哪裡

• 不會正負抵消：跟絕對值一樣做到這件事。
• 可微：x² 處處平滑，|x| 在 0 點有個尖角。所有靠梯度下降吃飯的東西都愛平方，因為它的導數是 2x，乾淨。
• 可加、可拆解：兩組獨立來源的變異，變異數可以直接相加。絕對值不行。
• 接得上畢氏定理：這是最關鍵的一條。Σ(x_i − x̄)² 這個形狀，正是 01 關裡的 |u|² = u · u。 一旦寫成平方和，你手上的東西就從「一堆數字」升級成「一條向量的長度平方」， 整套幾何（長度、角度、投影、正交）全部可以搬過來用。下一節就把這件事釘死。

⑥ 標準差 vs 變異數：換個單位就看出誰是誰

同樣七個人，這次量身高。按下面的按鈕換單位（公分 ↔ 公尺），資料一個字沒改，只是換了記錄方式。

這也是為什麼後面 共變異數矩陣裝的是變異數而不是標準差 —— 矩陣要能做加法跟拆解，只有變異數撐得住。標準差是給人看的最後一步。

⑦ 接回內積：變異數就是「自己跟自己的內積」

這節是整關的重點，也是整份教材的樞紐。把 n 筆資料想成一條 n 維向量： 七個人的薪水不是七個數字，而是七維空間裡的一個點。 七維沒辦法畫，所以先用 n = 2（兩個人）把整件事畫清楚，再回頭套到七維。

看懂這張圖，這關就結束了。任何一筆兩人資料 (a, b)，都可以唯一拆成兩塊：

• 沿著 45° 對角線 (1, 1) 的那一塊 —— 這是平均。它只管「整體水平多高」。 這正是 01 關的投影：把資料投影到「大家都一樣」的方向上。
• 垂直於對角線的那一塊 —— 這是散開。它只管「兩人差多少」。 去中心化之後 c₁ + c₂ = 0 必然成立，所以 c 一定住在反對角線 x + y = 0 上。

兩塊互相正交（圖上有直角記號），這不是巧合：平均是「所有人都一樣」的成分，散開是「彼此差異」的成分， 本來就是兩件不重疊的事。而散開這條紅向量的長度，就是這組資料的散開程度。

回到七維：同一件事，數字對得上

下面這塊讀數盤吃的是主實驗那七筆薪水（你在上面拖動，這裡會跟著變）：

⑧ 數學長怎樣

先看程式，這比符號好懂：

const mean = a => a.reduce((s, v) => s + v, 0) / a.length;

function variance(a) {                    // 樣本變異數：分母是 n-1
  const m = mean(a);
  const dev = a.map(v => v - m);          // 去中心化：每個人離中心多遠
  const ss  = dev.reduce((s, d) => s + d * d, 0);   // 平方和 == dev · dev（內積！）
  return ss / (a.length - 1);
}

const std = a => Math.sqrt(variance(a));  // 開根號，把單位開回來

換成符號，一模一樣的東西：

σ 跟 s 是同一個東西：本站圖表與讀數為了排版一律寫成 σ（例如主實驗那把 x̄ ± σ 的尺）， 那個 σ 就是這裡定義的 s —— 樣本標準差，分母是 n − 1。 看到 σ 一律讀成「除以 n−1 那個」，不是另一個新東西。（統計課本裡 σ 專指母體標準差，本站沒有用到母體版。）

那個 n − 1 是什麼？叫做自由度。七個偏差看起來有七個數字，但它們被綁住了一條約束： 加起來一定是 0（支點那節證過）。也就是說你知道前六個偏差，第七個就被算出來了， 它不帶新資訊。真正獨立的偏差只有 n − 1 = 6 個，所以平均的時候除以 6 而不是 7。 （中心是從資料自己身上估出來的，估這件事已經花掉一個自由度。）

本站全部統一用樣本版（ddof = 1，除以 n−1），LAB.M.variance() 的預設值就是這個。

⑨ 工程師的「原來如此」

⑩ 踩坑

⑪ 這關回答了什麼