有效邊界：在約束裡找最優

這關的例子是投資組合，但你不需要任何金融背景。下面五個詞就是全部：

另外兩個到 ⑧ 才會用到：無風險利率 r_f（放定存的報酬，波動 0）、 夏普比率 Sharpe（每承受一單位波動換到多少超額報酬，等於 (μ − r_f) / σ）。

藍 = 第一個東西（大盤 ETF）   橘 = 第二個（投資級債券）   桃 = 第三個（科技股；「第三檔」全站沒有標準語意色，本頁借用次軸色）
綠 = 結果（你組出來的那個組合、最優解）   青 = 隨機撒出來的資料點   紫 = 有效邊界與風險等高線（兩者都是 C 的二次型幾何）   紅 = 不該選的（被支配的那一段、以及 MVP 這個「極端端點」）

你會看到什麼：

左圖是 60 個月的報酬走勢 —— 藍＝ETF 每個月漲跌幾 %、 橘＝債券、綠（粗）＝按你的權重混完之後的組合。 右圖是 (風險, 報酬) 平面：橫軸 σ_p、縱軸 μ_p， 紫弧＝w 從 0 走到 1 掃出來的所有組合，綠點＝你現在這一個。

你可以動什麼：

w 滑桿＝ETF 佔幾 %；ρ 滑桿＝硬把兩檔的相關係數改成你指定的值 （左圖的橘線會跟著重新生成，右圖的弧會換形狀）。三顆按鈕直接跳到 ρ = +1 / 0 / −1。

要看出什麼：

紫弧往左凸出去多遠，就是分散賺到多少。ρ = +1 時弧線塌成一條直線（凸出去 0，分散完全無效）； ρ = −1 時弧線折成 V 字、尖端碰到縱軸（σ_p = 0，風險被完全抵消）。

我要的是「ρ 說多少就真的是多少」，所以不能亂 random 完就算。做法四步：

1. 用固定種子的 LCG + Box-Muller 產兩條長度 60 的常態序列 raw1、raw2
   //   LCG = 一行遞推式的偽隨機數產生器；Box-Muller = 把均勻分布轉成常態分布
   //   固定種子 → 每次打開這一頁看到的線一模一樣，可重現
2. z1 = 標準化(raw1)                       // 減平均、除標準差（ddof = 1）→ 平均 0、σ 剛好 1
3. z2 = 標準化(raw2 − cov(z1, raw2)·z1)     // 把 raw2 裡「跟 z1 平行」的成分減掉
   //   ↑ 這一步就是 01 關的投影：減掉投影分量之後兩者正交，cov(z1, z2) = 0
4. 要 ρ 就令  zB = ρ·z1 + √(1−ρ²)·z2     // 這一步叫 Cholesky：把相關結構灌進去
   //   驗算：var(zB) = ρ² + (1−ρ²) = 1 ✔   cov(z1, zB) = ρ ✔   兩個都精準成立

月報酬 r_i = μ_i/12 + (σ_i/√12)·z          // 年化參數轉月：報酬除 12、波動除 √12

因為第 3 步用了 01 關的投影把兩條序列弄成正交， 第 4 步的 √(1−ρ²) 才會剛好讓變異數回到 1。 這也是為什麼讀數盤裡「公式算的 σ_p」和「序列實測的 σ_p」 兩個數字會一路貼在一起（差 < 0.000001）—— 它們本來就是同一件事的兩種算法： 一個是先算 C 再套公式，一個是把 60 個月的組合報酬直接量一次標準差。

為什麼波動要除 √12 而不是除 12：變異數會相加（12 個月加起來 = 12 倍）， 標準差是變異數開根號，所以是 √12 倍。這是 02 關「變異數才是可加的那個量」的直接後果。

你會看到什麼：

左圖是兩檔的情況：w₁ 對 w₂ 的平面上， 那條斜線就是 w₁ + w₂ = 1；紫實線段＝不放空的部分，灰虛線＝要放空才到得了的部分。 右圖是三檔：三根虛線是 w₁/w₂/w₃ 三根座標軸（斜著畫才看得出 3D）， 中間那片半透明紫三角形就是單純形，外圈虛線三角形是「每檔可以放空 25%」時平面延伸出去的範圍。

你可以動什麼：

兩張圖上的綠色圓點都可以直接用滑鼠拖。 左圖的點只能沿著那條線滑（滑桿也能拉，可以拉到負值）；右圖的點會被限制在三角形內。

要看出什麼：

不管你怎麼拖，右邊讀數盤的合計永遠是 1.000000 —— 你不是在調三個獨立的數字， 你是在一個二維的三角形上移動。三檔資產、三個權重，自由度只有 2。

你會看到什麼：

左圖是 ④ 那個三角形（這次拉平了正面看，不再傾斜），裡面撒滿 2000 個青色權重點， 三個角標著「全押哪一檔」。右圖是同樣這 2000 組在 (σ_p, μ_p) 平面上的落點 —— 一片彎彎的、往左上翹起來的雲（教科書叫它 bullet，子彈）。三個角落對應右圖三個被特別標出來的端點。

你可以動什麼：

滑鼠移到右圖的雲上面，最接近的那一點會被紅圈圈起來，同時左圖會亮出它的權重位置； 反過來拖左圖的綠點，右圖的綠點也會跟著跑。兩張圖是同一件事的兩個視角。 按鈕可以重撒一批、或只留 60 點看清楚單點。

要看出什麼：

雲的左上緣是一條乾淨的邊，右下方則是一層有厚度的肉。 左上緣以外撒不出任何點 —— 那裡是做不到的；而肉裡面的每一點， 都可以在同樣報酬下往左找到更好的。這條左上緣就是 ⑥ 要講的有效邊界。
另外注意：這層肉比你想像的薄（在同一個報酬水準上，σ 的可能範圍只有 2~3 個百分點）。 為什麼這麼薄，⑥ 會給你答案 —— 因為報酬一旦被固定住，可行的權重就只剩一條線段了。

你會看到什麼：

青雲＝⑤ 那 2000 組隨機權重（背景參考）。 紫實線＝有效邊界；紅虛線＝被支配的下半段； 紅方塊＝MVP；綠點＝你用滑桿指定的目標報酬 t 之下的最佳解， 它身上那條綠色水平虛線就是「報酬固定在 t」這個條件，而線上那一段粗粗的淡綠色 就是「這個報酬水準下 σ 真正能走到的範圍」（也就是 ⑤ 那片肉在這一層的厚度）。 另外那顆青點＝隨機雲裡「報酬至少跟你一樣高」的那些組合中最靠左的一顆，用來對照。 左上角有圖例。

你可以動什麼：

目標報酬 t 滑桿。每動一格，程式就現場解一次 「在 μ^Tw = t 且 1^Tw = 1 且 w ≥ 0 之下，讓 w^TCw 最小」， 右邊會顯示解出來的三個權重。三顆按鈕直接跳到 MVP 與兩個端點。

要看出什麼：

綠點永遠在青點的左邊（隨機撒的點不會剛好命中最優）—— 這就是「邊界是雲的左包絡線」的意思：邊界不是畫上去的裝飾， 它是每一個報酬水準上「往左推到底」的結果。
再把 t 拉到 MVP 以下（紅虛線那一段）：連線會變紅，因為那時候青點報酬更高、風險還更低， 兩邊都贏你 —— 那就是「被支配」的現場證據。
還有一件事：那段粗淡綠很短（大概 2~3 個百分點）。這就是 ⑤ 說「雲很薄」的原因 —— 報酬固定住之後，你只剩一條線段可以走。

你會看到什麼：

座標是權重平面（不是報酬平面！）：橫軸 w₁ = ETF 比例、縱軸 w₂ = 債券比例。 紫橢圓＝風險等高線 w^TCw = c（另外三圈更淡的是更小的 c，看得出它是「從原點長出來」的）； 灰線＝預算約束 w₁+w₂=1（粗實線段＝不放空的部分）； 綠點＝橢圓與直線的交點。

你可以動什麼：

c 滑桿（風險水準）。從左往右拉，橢圓長大。讀數盤會即時報「現在有幾個交點」。 「跳到剛好相切」按鈕會把 c 設成解析解算出來的臨界值，讓你對照滑桿掃到的結果。

要看出什麼：

交點數會走過 0 → 1 → 2 三個階段。0 個＝這個風險太低，做不到； 2 個＝這個風險有兩種達成方式，代表你還可以更省； 恰好 1 個＝臨界，那就是最優解 —— 而那一點橢圓與直線相切， 圖上會冒出兩支箭頭（兩邊的法向量）指向同一個方向。

你會看到什麼：

左圖是權重空間（跟 ⑤ 同一個三角形）：紫色實線圍出來的就是目前允許的區域， 灰虛線三角形是「原本不放空」的參考範圍，青點是在新區域裡撒的權重。 右圖是 (σ, μ) 平面：青雲＝那些權重的下場、 紫線＝新的有效邊界、紅方塊＝新的 MVP。 淡紫虛線一律是「什麼都不開」時的原始邊界，方便你比對外推了多少。

你可以動什麼：

三顆開關，可以單獨開也可以疊著開：(a) 允許放空、 (b) 單一標的上限 40%、(c) 加入無風險資產（1.5%）。 每按一次，左右兩張圖與所有數字都會重算。按鈕亮起＝開啟。

要看出什麼：

三種約束造成三種不同的形變：放空讓區域往外爆開、 上限讓三角形被削角削到只剩正中央一塊倒過來的小三角形、無風險資產讓邊界多長出一條直線。 而「最優解」的位置每次都跟著搬家 —— 「最優」永遠是相對於約束而言的。

拿掉 w_i ≥ 0 之後，權重不再被關在三角形裡， 整張平面都可以去（左圖的點會跑到三角形外面）。效果：

• 邊界兩端無限延伸：報酬可以超過 14%（放空債券、加碼科技股），代價是 σ 也跟著衝上去。這是最明顯的變化。
• MVP 往左移一點：從 (13.30%, 86.70%, 0%) σ = 4.49% 變成 (19.15%, 85.30%, −4.45%) σ = 4.41%。放空一點科技股讓風險再降 0.08 個百分點。
• 但中段幾乎沒變：例如 t = 8% 時，不放空的解 (24.73%, 41.05%, 34.21%) 本來就三個都是正的 —— 約束沒有在擋你，所以放開它也沒有好處。約束只在「它真的擋住你」的時候才有代價。

技術細節：放空模式的隨機點是在「每檔權重 −50% ~ +150%」的範圍內撒的 （不然點會噴到畫面外），但紫色邊界是真正無界的解，只畫到畫面邊緣為止。

加上 w_i ≤ 0.4，每個約束都砍掉三角形的一個角 （「靠近某個頂點」＝「那一檔權重大」）。三檔的時候這一刀特別狠：

因為 3 × 0.4 = 1.2，只比 1 多 0.2，所以反推出每一檔至少要放 20% （另外兩檔頂多吃掉 80%）。三個角被削掉之後，三道切口在中間互相碰上， 所以剩下的不是六邊形，而是一個上下顛倒的小三角形 —— 它的三個頂點就是 (40, 40, 20)、(40, 20, 40)、(20, 40, 40) 這三種「兩檔頂到上限、一檔墊在下限」的組合。 邊長是原本的 1/5，面積只剩 1/25 = 4%（也可以這樣算：三個角各切掉 0.6² = 36%， 三對兩兩重疊的部分各 0.2² = 4% 要補回來，1 − 3×0.36 + 3×0.04 = 0.04）。

後果非常具體：報酬被硬夾在 7.20% ~ 9.40% 之間 （下限是 40/40/20 押在最保守的組合、上限是 40% ETF + 20% 債 + 40% 科技）。 而 MVP 從 σ = 4.49% 惡化到 σ = 10.82%（40%, 40%, 20%） —— 風險最小的那個組合（要放 86.7% 債券）被禁止了，你只能退到那個小三角形的角上。 「上限」聽起來像在保護你，數學上它是在沒收你的選項。

多一個選項：報酬 r_f = 1.5%、波動 0 的定存。 它在 (σ, μ) 平面上就是縱軸上的一個點 (0, 1.5)。

如果你把錢分成「一部分定存 + 一部分某個風險組合 P」，混出來的點會落在 (0, r_f) 與 P 的連線上 —— 是直線而不是弧線。 原因回到 ②：定存的 σ = 0，跟任何東西的共變異數也是 0， 所以 w^TCw 裡的非對角線項整批消失， σ_p 退化成單純的比例縮放（把 60% 的錢放在 P 上，風險就是 P 的 60%）。

那該挑哪個 P？挑讓這條直線最陡的那個 —— 斜率 (μ_P − r_f) / σ_P 就是夏普比率。 而最陡的那條線剛好與原本的弧形邊界相切（又是相切！同一個 ⑦ 的道理： 直線繞著 (0, r_f) 往上轉，第一次碰到可行區的地方就停）。 這條線叫資本配置線（capital allocation line）， 切點是本頁數字下的 (20.95%, 71.05%, 8.00%)，σ = 5.82%、μ = 4.93%、夏普 = 0.588。

對照一下就知道它好在哪：全押債券的夏普只有 (3−1.5)/5 = 0.300， MVP 是 0.482，切點組合 0.588。而且開了這個開關之後， 切點右上方那一整段原本的弧線全部被直線超越（同樣風險、更高報酬）， 弧線那一段當場變成被支配的。