內積問的是：你們朝同一邊嗎
玩完這關，你會用一個數字判斷兩排數字有多同步 —— 並且知道這個數字什麼時候會騙你。
① 你手上的問題：程式不會「看」
你有一張評分表：每個使用者對每部電影打了幾分。你想做兩件事 —— 找出口味像的人互相推薦； 再拿兩支股票的每日報酬，判斷它們是不是一起漲、一起跌。
你自己瞄一眼就知道答案：這兩排數字一起上一起下，那兩排剛好相反。 問題是你的程式不會「看」。它需要一個函式：吃兩排數字，吐一個數字 —— 而且這個數字要能回答「他們朝同一邊嗎？有多用力？」，還要能拿去排序、能塞進 index、能一次算一百萬對。
寫 if/else 去比大小是死路：兩部電影還行，兩千部呢？你要的是一條 O(n) 的算式。
它叫內積（dot product）。兩排數字進去，一個數字出來： 正的＝朝同一邊，負的＝反著走，零＝互不相干。 整關就在把這句話變成你能默寫出來的東西。
② 從影子開始：你國中就會算內積了
太陽在正上方，光線垂直往下照。你把一根棍子斜插在地上，地上會出現一道影子。 棍子越挺直，影子越短；棍子越貼地，影子越長。影子的長度只跟「棍子有多斜」有關 —— 這句話就是 cos 在做的事，數學課本只是把它寫成符號。
後面每張圖、每個讀數盤、每顆按鈕上出現的字母就這幾個。看到不認識的回來對一下：
- u —— 第一個向量（本頁一律藍色）。這一段裡它就是那根斜插在地上的棍子； 到了後面的推薦系統例子，它是「某個使用者的評分」。
- v —— 第二個向量（一律橘色），是你拿來當尺去量的那一根。 這一段裡它就是地面的方向。
- |u|、|v| —— 兩側那對直線讀作「長度」。 |u| 就是 u 這根箭頭有多長，用畢氏定理量出來（√(u1² + u2²)）。 長度永遠 ≥ 0，不會有負的。
- θ —— 希臘字母 theta，就是 u 跟 v 之間的夾角，範圍 0° 到 180°。
- cos θ —— 夾角的餘弦，一個 −1 到 1 之間的數字。白話：影子佔原長的幾成。 0° 時是 1（影子＝全長），90° 時是 0（沒影子），180° 時是 −1（影子等長但在反方向）。
- u · v —— 讀作「u dot v」，就是這關的主角內積。 中間那個點不是小數點、也不是普通乘號，是「內積」這個運算的符號；它吃兩個向量、吐一個數字。
現在地上另外躺一根棍子 v，它決定了「地面的方向」。 把影子的長度乘上 |v|，你得到一塊長方形的面積。 拖動下面的滑桿，看那塊面積怎麼變 —— 那塊面積就是內積。
實驗：拖傾角，看那塊面積怎麼變
你會看到什麼：藍箭頭 u 是斜插在地上的棍子，橘箭頭 v 是地面的方向， 綠色粗線是 u 打在地面上的影子（刻意畫在地面下方一點，純粹為了不跟箭頭疊在一起）， 影子下面那塊半透明長方形的面積就是內積 u·v。 圖上方那幾條灰虛線是垂直照下來的陽光，弧線上的數字是目前的 θ。
你可以動什麼：只有一根滑桿 —— 棍子的傾角 θ（0° 是完全貼著 v 躺平， 90° 是直挺挺站著，一路可以推到 170° 倒向反邊）。兩根的長度固定不動： |u| = 3.40、|v| = 3.60。
要看出什麼：θ 越小 → 影子越長 → 長方形越大 → 內積越大；推過 90° 影子翻到 v 的反側， 長方形往反邊長，內積變負。看懂之後你要能講出這一句： 內積只由「兩根有多同向」跟「兩根各自多長」這兩件事決定。
藍色是斜插的棍子 u，橘色是地面方向 v，綠色粗線是影子， 下面那塊半透明長方形就是 影子 × |v|。面積畫在地面下方，純粹是為了不跟棍子疊在一起。
推過 90°：影子跑到對面去
把滑桿推過 90°，棍子倒向另一邊，影子就跑到 v 的反方向去了。 長度帶了負號，面積也跟著變負 —— 這就是「內積是負的」的物理意義，不是規定，是影子真的跑到對面去了。 推到剛好 90°，棍子直挺挺站著，影子縮成一個點：面積 0。
內積 =「u 在 v 上的影子」×「v 的長度」。 所以它一個數字裡塞了兩件事：方向合不合（影子）跟規模多大（兩根的長度）。 這是它強的地方，也是它會騙你的地方 —— 下一段就把這兩件事拆開。
③ 主實驗：兩條向量，一個數字
直接拖。兩個圓點分別是 u 與 v 的箭頭尖端。 拖的時候盯著大數字看它換號、換色，也盯著那條虛線 —— 那是 u 落在 v 上的影子，跟上一段的棍子完全是同一件事。
你會看到什麼：藍箭頭 u 跟 橘箭頭 v 兩條向量； 橘色細虛線是 v 的延長線（影子只會落在這條線上）；綠色粗線是影子本體， 被平移到旁邊一點才不會壓住 v；灰虛線是 u 垂直打下來的那條路徑，落腳處的小方角就是直角記號； 原點附近那條細弧線是夾角 θ。
你可以動什麼：用滑鼠拖藍點或橘點（兩個點分別是 u、v 的箭頭尖端，可以拖到任何位置）； 懶得拖就按上面四顆按鈕：同向／垂直／反向／一長一短，直接跳到典型狀況。
要看出什麼：大數字 u·v 的正負號， 跟「影子落在 v 的哪一側」永遠是同一件事。拖到接近垂直時你會看到： 兩條向量的座標明明都不是 0，u·v 卻趨近 0 —— 相乘的兩項互相抵消掉了。
拖曳藍點或橘點改變兩條向量。虛線是 u 垂直落到 v 那條線上的路徑， 小方角是直角記號：影子永遠是「垂直打下來」量到的。
按「垂直」那顆按鈕：u = (4, 2)、v = (−1, 2)， 內積剛好 4×(−1) + 2×2 = 0。兩條向量的數字都不是 0，乘出來的兩項互相抵消 —— 這種「抵消」是後面 正交 那段的全部重點。
④ 為什麼要把長度除掉：內積會被「音量」放大
三個使用者，兩部電影（動作片、愛情片）。他們的評分向量長這樣：
- 熱情派 [5, 4] —— 什麼都給高分，動作片略多一點
- 冷淡派 [2, 1.6] —— 手很緊，但比例跟熱情派一模一樣（0.4 × [5, 4]）
- 口味相反派 [1, 5] —— 愛情片給很高，動作片給很低
拿「跟熱情派的內積」當相似度分數，冷淡派立刻吃虧： 5×2 + 4×1.6 = 16.4，而熱情派跟自己是 41。 可是這兩人的口味明明完全相同，差的只是評分習慣 —— 一個大方、一個小氣。 把長度除掉（cos θ），冷淡派的分數立刻變成 1.000：滿分同向。
實驗：整體評分放大，看誰會動
你會看到什麼：三根箭頭＝三個人對兩部電影的評分，橫軸是動作片分數、縱軸是愛情片分數： 熱情派（藍，基準）、冷淡派（橘）、口味相反派（青）。 那條細虛線是被放大那個人的方向射線 —— 它從原點出發、穿過那個人原本的評分點。
你可以動什麼：先用兩顆按鈕選「要放大誰」（冷淡派或口味相反派）， 再拉滑桿 k（0.2× 到 3×）把那個人的評分整體乘上 k。 k 就是「這個人給分習慣的大方程度」，基準的熱情派永遠不動。
要看出什麼：k 一動，那根箭頭只在同一條射線上伸長縮短，方向從頭到尾沒變過。 所以下面表格裡 u·v 跟著 k 暴衝， cos θ 跟夾角紋風不動。結論一句：內積會被音量放大，cos 只問方向。
三條箭頭是三個人的評分向量。虛線是被放大那個人的方向射線 —— 不管你把評分放大幾倍，箭頭永遠沿著同一條射線滑動，方向沒動過。
| 使用者 | 評分（動作, 愛情） | 長度 |v| | 跟熱情派 u·v | cos θ | 夾角 |
|---|
拉滑桿的時候只看兩欄：u·v 暴衝，cos θ 紋風不動。內積被音量放大，cos 只問方向。
注意口味相反派的 cos 大約 0.766（夾角約 40°），不是負的。 因為評分全是正數，三個人都擠在第一象限，向量之間根本轉不到 90° 以上。 要讓「相反」真的變出負號，得先減掉平均（中心化）再算 —— 那正是第 03 關的相關係數在做的事：中心化之後的 cos。
⑤ 正交代表什麼：兩個互不干擾的問題
內積 = 0 讀作「正交」。工程上它不只是「垂直」這個幾何形狀，它的真正意思是： 這兩個方向互不干擾，可以各自獨立地問、獨立地答。下面這組對照就是在示範這句話。
左邊是一組正交基底 e1、 e2（互相垂直，長度 1）； 右邊是一組斜的基底 f1、 f2（沒垂直）。 同一個向量 w 在兩組基底底下各有一組座標。
e1、e2、 f1、f2 不是什麼新東西 —— 它們就是你自己挑的兩根量尺，數學上的正式名字叫「基底」（basis）。 你平常在用的 x 軸、y 軸也只是其中一種挑法，沒有誰規定非用它不可。
- e1、e2 —— 第一組量尺：互相垂直、長度都剛好是 1。字母 e 只是慣例（elementary），下標 1 / 2 就是「第幾根」。 本頁刻意把這兩根轉了個角度、不去對齊 x/y 軸，你才看得出「量尺」跟「畫在圖上的座標格線」是兩件不同的事。
- f1、f2 —— 第二組量尺：長度同樣都是 1，但故意沒有垂直（夾角由下面的滑桿控制）。 f 純粹是為了跟 e 區隔，沒有別的意思。注意 f1 跟 e1 是同一個方向，兩組的差別全在第二根。
- w —— 被量的那個向量（藍色、可以拖的那個點）。 這裡用 w 而不是 u，是因為這一段沒有「兩個向量做內積」這回事，只有一個向量、兩種量法。
- 座標 (a, b) 與 (s, t) —— 同一個 w 在兩組量尺底下的讀數。a ＝「沿 e1 走幾格」、b ＝「沿 e2 走幾格」；s、t 同理，只是換成 f 那一組。兩組讀數描述的是同一個 w，就像同一段長度可以讀成 30 公分、也可以讀成 11.8 英吋。
實驗：同一個 w，兩組基底
你會看到什麼：兩張並排的圖，畫的是同一個 藍色向量 w。 左圖的兩根短箭頭是互相垂直的量尺 e₁、e₂（原點有小方角＝直角）， 右圖是刻意歪掉的量尺 f₁、f₂（弧線上的數字是它們的實際夾角）。 綠色是 w 被拆出來的兩個分量，兩條綠虛線把它們接成一個平行四邊形回到 w。
你可以動什麼：拖任一張圖的藍點（w 兩邊會同步）；拉滑桿轉 f₂ 跟 f₁ 的夾角（20°–90°）；或按三顆按鈕把 w 擺到特定位置。 滑桿只會動右圖 —— 左圖的 e₁、e₂ 從頭到尾一動也沒動。
要看出什麼：拉滑桿的時候你根本沒有碰 w，但右邊的斜座標 (s, t) 變了， 左邊的正交座標 (a, b) 完全不動。 結論一句：斜量尺的兩個座標會互相污染，正交量尺可以各問各的。
正交基底 e₁ ⊥ e₂座標 = 兩個內積
斜基底 f₁, f₂ 沒垂直座標 = 解聯立
兩張圖裡的藍點是同一個 w，拖任一邊都會同步。綠色是分解出來的兩個分量， 沿著基底方向串成一個平行四邊形回到 w。左圖那個小方角＝直角，右圖是實際夾角。
重點在滑桿：你根本沒有動 w，只是把 f2 轉了幾度， 斜座標的 s 就跟著變了。這就是「座標互相污染」—— 在斜基底裡，第一個座標的答案取決於第二根軸放哪裡，你沒辦法只問一半。 正交基底不會有這回事：a 永遠就是 w·e1， 跟 e2 完全無關。把滑桿推到 90°，兩邊數字會對上 —— 斜基底變回正交基底了。
PCA 要做的事是「幫資料找幾根新軸，然後只留最重要的幾根」。 如果那些軸是斜的，會出三件事：① 每根軸上的座標要解聯立才算得出來（不能一個內積搞定）； ② 兩根軸講的資訊會重複計算，「這根軸解釋了 60% 的變異」這種話直接失去意義； ③ 丟掉一根軸造成的誤差沒辦法乾淨地算出來。 軸正交的時候，總變異數會像畢氏定理一樣直接相加（下一段會親眼看到）， 每根軸各自獨立、加起來剛好是全部 —— 這才是「主成分」能排名的前提。
最後補一個名字，下一輪會用到：把一整組互相垂直、長度都是 1 的量尺 （就是左圖那組 e1、e2） 一根一根當成直欄排進一個矩陣，那個矩陣就叫正交矩陣 Q。 它好用的地方正是你剛剛親手玩過的：座標一個內積就拿到、不必解聯立；而且 Q 乘上去不會改變任何長度與夾角， 只是換一組量尺來讀同一個東西。它為什麼好用，攤開來看在 06 · 空間補完 的 #ortho-matrix。
⑥ 投影：把 u 拆成「v 看得到的」跟「v 看不到的」
影子這件事正式的名字叫投影。給你 u 跟 v，投影把 u 切成兩塊： 沿著 v 的那一塊（綠色，v 量得到）跟 垂直於 v 的那一塊（紅色，v 完全看不到）。 兩塊拼起來還是 u，而且它們互相垂直 —— 所以長度關係是畢氏定理。
這個動作寫成 projv(u)，讀作「u 在 v 上的投影」：
proj 是 projection 的縮寫；下標的 v 是「投影到誰身上」（拿誰當尺），
括號裡的 u 是「誰被投影」（被量的東西）。順序不能反 ——
proju(v) 是另一件事（改成拿 u 當尺去量 v）。
它吐出來的是一個向量（有方向），這點跟內積不同（內積吐一個數字）。 所以下面讀數盤裡會有三個相關但不同的數字：投影長度是這個向量的帶號長度， 係數是「這個向量等於 v 的幾倍」，垂直分量長度是剩下那塊 v 量不到的長度。
實驗：把 u 切成看得到的跟看不到的
你會看到什麼：藍箭頭 u（被拆的那個）、橘箭頭 v（當尺的那個）、 綠箭頭是 u 之中沿著 v 的那一塊（投影向量）， 紅色虛線箭頭是剩下垂直於 v 的那一塊（殘差），兩者交會處有直角記號。 綠色接上紅色剛好就是 u；橘色細虛線是 v 的延長線。
你可以動什麼：拖藍點（u）或橘點（v）；或按四顆按鈕跳到銳角、鈍角、垂直、平行四種情形。
要看出什麼：綠色永遠貼在 v 那條線上、紅色永遠垂直於它，不管你把 u 拖到哪裡。 把 u 拖到 v 的後方，綠箭頭會翻到 v 的反側、投影長度變成負數。 然後盯讀數盤最後三列：|u|² 跟「投影² + 垂直²」永遠是同一個數。
拖曳藍點（u）或橘點（v）。綠箭頭是投影向量，紅箭頭是垂直分量（殘差）， 兩者交會處有直角記號。把 u 拖到 v 的後方，投影長度會變成負數。
畢氏定理藏在最後三列
注意最後三列：|u|² 跟 |投影|² + |垂直|² 永遠是同一個數， 差距那一列你拖到手酸都會是 0.000000（真正的差在 10−15 級，那是浮點數的自尊心問題，不是數學）。 這條就是畢氏定理：|u|² = |投影|² + |垂直|²，只是斜邊叫 u。 「把一個東西拆成互相垂直的幾塊，各塊的平方加起來剛好是全部」—— 這句話在 02 關會變成「總變異數怎麼分配」， 在 05 關會變成「留兩維丟一維，誤差是多少」。同一條定理，換三次衣服。
投影長度 = 內積 ÷ |v|。反過來說：內積 = 投影長度 × |v|。 內積是「影子」跟「尺的長度」黏在一起的產物； 除以 |v| 得到影子本身，再除以 |u| 得到純方向 —— 那就是 cos θ。三個量是同一件事的三種歸一化程度。
投影這把刀先放這裡，待會用來講共變異數： 兩組資料各自減掉自己的平均之後，就變成兩個向量，「它們有多同步」問的其實就是 「其中一個在另一個身上投出多長的影子」。接法寫在 03 · 共變異數 的 #dot-bridge。
⑦ 數學長怎樣
程式版：三行
先看程式。整關的內容就這三行，其他都是包裝：
const dot = (u, v) => u.x * v.x + u.y * v.y; // 逐項相乘再加總 —— 就這樣
const cos = (u, v) => dot(u, v) / (norm(u) * norm(v)); // 把兩邊的「音量」除掉，只剩方向
const proj = (u, v) => scale(v, dot(u, v) / dot(v, v)); // u 沿著 v 的那一塊（向量）
// 維度變多也不用改邏輯，for 迴圈多跑幾圈而已：
const dotN = (a, b) => a.reduce((s, ai, i) => s + ai * b[i], 0);符號版：一個等號
再看符號版。同一件事的兩種寫法，中間那個等號是這關唯一需要記的東西：
每個字母是什麼
逐個符號拆開，一個都不要跳過：
- u1、u2： u 的兩個座標分量。在推薦系統裡就是「這個人對第 1 部、第 2 部電影的評分」。
- |u|：u 的長度， √(u1² + u2²)，畢氏定理量出來的。 在評分的例子裡＝「這個人整體給分有多大方」。
- θ：兩條向量的夾角（0° 到 180°）。0° 完全同向，90° 互不相干，180° 完全相反。
- cos θ：夾角的餘弦，範圍 −1 ≤ cos θ ≤ 1。 它是「影子佔原長的幾成」：cos 0° = 1（影子＝全長），cos 90° = 0（沒影子）， cos 180° = −1（影子等長但在反方向）。
- |u| cos θ：影子的帶號長度，也就是投影長度。
所以那個等號在說：「逐項相乘加總」這種土法煉鋼的算式，算出來的東西剛好等於「影子 × 尺長」。 左邊好寫，右邊好懂。內積之所以有用，就是因為這兩件事是同一個數字。
⑧ 工程師的「原來如此」
你打 embedding API 拿回一個 1536 維（或 3072 維）的 float 陣列，然後用 cosine similarity 找最像的文件 ——
那個公式跟本頁一模一樣，只是加總從 2 項變成 1536 項，dot(u,v) / (|u||v|) 一個字都沒改。
兩個實務細節現在你能自己推出來： ① 大家都先把 embedding normalize 成長度 1，因為這樣 cos = dot， 查詢就退化成一次矩陣乘法，GPU 一秒幾百萬次 ——「除以長度」這步被搬到寫入時做掉了。 ② 為什麼要用 cos 而不是內積？因為文件長度會灌水：長文件的向量通常比較長， 用內積排序你會一直撈到長文，而不是最相關的文。這就是 ④ 那個「音量」問題， 只是主角從小氣的使用者換成一篇落落長的文件。
把兩檔標的過去 250 天的日報酬各排成一個 250 維向量（記得先減掉各自的平均）。 兩個向量的內積為負＝一個漲的日子另一個常常跌＝天然避險： 兩檔一起持有，組合的波動會比單押任一檔小。內積正且很大＝你以為分散了，其實買了同一個東西兩份， 2008 年很多人是這樣死的。
再往下一步：市場中立（delta-neutral）策略在找的，就是一個跟大盤報酬向量正交的部位組合 —— 大盤怎麼走都不影響它。至於這個「減掉平均之後的內積再除以 n−1」有個名字， 叫共變異數；除以兩邊標準差之後叫相關係數。 整個風險模型就是拿一堆這種內積排成矩陣。
為什麼是除以 n−1 而不是 n？那個平均數不是天上掉下來的，是你從同一批資料算出來的， 所以 n 個偏差量裡有一個是被平均數綁死的（它們必須加起來等於 0）—— 真正能自由變動的只有 n−1 個， 這個數字就叫自由度。除以 n−1 是「樣本」版，本站六關全部統一用它。
⑨ 踩坑
內積把「方向合不合」跟「兩邊多大」乘在一起了，所以它可以靠灌長度作弊。 一個到處亂給高分的使用者，跟誰的內積都很大；一篇塞滿關鍵字的長文，跟任何 query 的內積都不低。 要比「像不像」就用 cos θ；內積只在你刻意要把規模算進去的時候用 （例如「這個方向上有多少能量」）。
[5, 4] 跟 [2, 1.6] 的 cos = 1.000， 判定「一模一樣」。方向上完全正確 —— 兩人偏好比例相同； 但如果你的產品要的是「找出願意付錢的重度使用者」，cos 剛好把你最在意的那個訊號（給分絕對值）除掉了。 歸一化不是免費的：你除掉的東西，就是你決定不在乎的東西。想同時要方向又要規模，就別只丟一個數字給下游。
內積 0 只代表「在線性這個尺度上互不影響」。非線性關係它完全看不到： 取 x 對稱分佈、y = x²， 兩者的內積（中心化之後）會是 0，但 y 明明被 x 完全決定 —— 你知道 x 就知道 y，這叫「沒關係」？ 第 03 關會把這個反例畫出來給你看。 所以正確的讀法是：「共變異數 = 0」是沒有線性關係，不是「獨立」。
⑩ 這關回答了什麼
兩個向量做內積，到底代表什麼意思？
它回答一句話：你們朝同一邊嗎，有多用力？ 正的＝同一邊，負的＝反著走，0＝互不相干。
具體長相是「u 在 v 上的影子長度 × v 的長度」（見 ② 那塊長方形面積）。
所以它同時吃了兩件事：方向合不合，以及兩邊的規模有多大。
算法上它就是逐項相乘再加總，一行 reduce 寫完，維度多高都一樣。
內積算出來的角度 cosine 代表什麼？為什麼要除以長度？
cos θ = u·v / (|u||v|) 是「影子佔原長的幾成」，範圍固定在 −1 到 1： 1＝完全同向，0＝垂直，−1＝完全相反。它是一個純粹的方向分數，跟兩邊多長無關。
要除以長度，是因為內積會被「音量」放大。 熱情派 [5,4] 跟 冷淡派 [2,1.6] 的口味完全相同， 只是後者給分小氣，內積就從 41 掉到 16.4 —— 你會誤判他們不像。 除掉兩邊的長度之後 cos = 1.000，真相才出來（自己拉 ④ 的滑桿看： 內積跟著倍率暴衝，cos 一動也不動）。
兩個向量正交（內積 = 0）代表什麼？為什麼工程上很想要正交？
幾何上是垂直；工程上的意思是互不干擾，可以各自獨立地問跟答。 「這個問題的答案完全問不出那個問題的答案」—— u 在 v 上的影子是 0，v 這把尺量不到 u 的任何一點。
想要正交是因為它讓事情可以拆開算： ① 每個座標只要一個內積就得到（a = w·e₁），不必解聯立； ② 改一根軸不會污染另一根軸的座標（⑤ 拉那個夾角滑桿就看得到污染長什麼樣）； ③ 各分量的平方可以直接相加（畢氏），所以「這根軸解釋了幾成」才講得通， 丟掉一根軸的誤差也算得出來。這三點就是 PCA 堅持要正交軸的全部理由。
什麼是投影向量？投影跟內積是什麼關係？
投影向量是「u 之中沿著 v 的那一塊」，是個向量： proj = (u·v / v·v) · v，方向跟 v 同（或反）， 剩下那塊 u − proj 垂直於 v，是 v 看不到的殘差。
關係就一條：內積 = 投影長度 × |v|，反過來 投影長度 = 內積 ÷ |v|。 三個量是同一件事的三種歸一化程度 —— 內積（都沒除）→ 投影長度（除 |v|）→ cos θ（再除 |u|）。 注意投影長度是帶號的：鈍角時為負，代表影子落在 v 的反方向（⑥ 按「鈍角」那顆按鈕）。 還有那條免費贈品：|u|² = |投影|² + |垂直|²，畢氏定理。
為什麼後面講變異數、共變異數要先學這個？
因為它們就是內積換個名字，不是「用到內積」，是本身就是：
- 變異數＝把資料減掉平均得到一個向量 d， 然後 d·d / (n−1) —— 一個向量跟自己做內積，也就是 |d|²。 「有多散」＝「這個向量有多長」。
- 共變異數＝兩組資料各自減掉平均得到 dx、 dy，然後 dx·dy / (n−1) —— 兩個不同向量的內積。正的＝一起漲，負的＝一個漲一個跌，0＝沒有線性關係。
- 相關係數＝上面那個除以兩邊長度，也就是中心化之後的 cos θ。 所以它必然落在 −1 到 1 之間 —— 不是巧合，是 cos 的值域。
再往上疊一層：把這些內積排成 2×2 表格就是共變異數矩陣， 它的特徵向量剛好是資料的主軸，那就是 PCA。整條主線從這頁的一個乘加開始。 下一關就從「一堆數字有多散」接手：02 · 變異數其實是內積。
內積很好用，但它有個前提：你手上得先有兩個「已經是向量」的東西。 可是你最常遇到的資料不是這樣 —— 你只有一堆數字：250 天的股價、3000 個使用者的年齡、一批感測器讀數。 「這一堆數字有多散」要怎麼變成一個向量，好讓我對它做內積？
下一關補：02 · 平均、變異數、標準差。 你會看到「減掉平均」這個動作其實是在造一個向量， 而「變異數」就是那個向量跟自己做內積 —— 這頁的公式一個字都不用改。