Math · Playable Lab

小鹿數學實驗室：從「內積」一路玩到有效邊界

主線十六關，每一關都可以拖、可以拉、可以按。你動一下，圖跟數字跟解讀句一起變 —— 目標不是讓你會算，而是讓你看得見這些名詞到底在幹嘛，然後能講給別人聽。
另外基礎那一組還有 01 關，不算在主線十六關裡 —— log 和 e 忘了的時候隨時回去翻，翻完就走。

整套教材只有一條主線

主線十六關全部是同一句話的展開，把這句話記起來，你就有整張地圖：

內積問「你們同方向嗎」 → 一欄跟自己內積 = 變異數 → 兩欄互相內積 = 共變異數 → 全部排成方陣 = 共變異數矩陣 C → 問 C「哪個方向最散開」= PCA

然後同一張 C 再被用兩次，那就是後面兩組：

把 C 反過來當尺 = 馬氏距離（這個點多奇怪） → 把 C 當成要最小化的目標 = 有效邊界（錢該怎麼分）
一句話總結 標準差、共變異數、特徵向量、PCA、馬氏距離、投組風險 —— 這些看起來毫不相干的名詞， 其實是同一個內積換了六個場合、六個名字。這套實驗室就是要讓你親眼看到那些名字是怎麼長出來的。

概念地圖：誰生出誰

整套教材一張圖。每一組的編號都是從 01 重新數的，所以圖上會出現好幾個「01」—— 同一排就是同一組，卡片顏色也照組別分（見下面圖例），看名字就知道是哪一關。
最上面單獨一排是微積分層（五張卡：01 導數 → 02 積分 / 03 多變量 / 04 規則 → 05 應用）—— 它不算在主線十六關裡，卻是主線一直在用、但沒有被命名的那套東西， 所以它從上面垂三條虛線下來：導數接基礎 01（你量過的斜率就是導數）、 積分接機率統計 02（面積就是積分）、多變量接最佳化 01（梯度就是偏導數）。 層內三條實線都從導數出發（積分是反過來問、多變量是升維、規則是不必每次算極限）， 而應用掛在規則右邊 —— 它是這一層的出口，把工具接回 ML 與交易，所以沒有往下的線。 往下才是主線 線性代數 01 → 05（內積長成共變異數矩陣 C，再長成 PCA）， 接著 機率統計 01 → 05 把「一堆點」升級成「一個分布」、最佳化 01 → 03 在約束下挑最好的那一個 —— 同一張 C 被反過來當尺（機率統計 05），又被當成要最小化的目標（最佳化 03）。 線性代數 06 補課包（虛線接在 01 / 04 底下）與 線性代數 07 SVD（PCA 的另一條路，接在 05 主軸底下） 可以隨時插隊先玩。基礎 01 log 也在同一排，虛線往下接機率統計 02 —— 它同樣隨時可插隊，不必先讀。 每一格都可以點，箭頭方向是「誰是誰的前置」。 （全景 01 與最後那頁實戰不在這張圖上 —— 它們不是新概念，是把圖上的東西收在一起用。）

01…05 編號是每一組各自從 01 起算，不是全站流水號 微積分（01 導數 · 02 積分 · 03 多變量 · 04 規則 · 05 應用） 基礎 01 log 線性代數 01 內積 · 06 空間補完 線性代數 02 散開程度 線性代數 03 共變異數 · 機率統計 01–05 分布 線性代數 04 特徵向量 線性代數 05 PCA · 07 SVD · 最佳化 01–03 - - - 虛線＝可以插隊的補課線

你會被回答的問題

這些就是「學線代最容易卡住」的問題。點任何一條，直接跳到會回答它的那個互動段落。

全部關卡：主線十六關 ＋ 三組補課

照組別走就對了，每一組的編號都從 01 重新數（所以「01」會出現好幾次，看組名分）： 線性代數 01–07（06 是補課包、07 是 PCA 的另一條路，兩關隨時可插隊）→ 機率統計 × 線代 01–05 → 最佳化 01–03 → 全景 01。 另外一組實戰擺在最後：它只有一頁、不編號，是主線十六關走完之後拿一組真實 ETF 數字練手的地方， 第一次讀可以直接跳過。
另外前面還掛了一組基礎，裡面只有基礎 01（log 與 e）—— 它不算在主線十六關裡，也不必先讀：後面用到 ln 的地方都會連回去， 你卡住的時候再插隊進去翻就好。
微積分那一組（01 導數 / 02 積分 / 03 多變量 / 04 規則 / 05 應用）夾在最佳化與全景之間， 因為它跟線性代數、機率統計、最佳化三邊都牽連：最佳化 01 的梯度、機率統計 02 的面積、 最佳化 02 的切線、基礎 01 量過的 ex 斜率都是它。 它同樣不算在主線十六關裡 —— 卡在哪一關，就插隊去讀對應的那一關。最後兩關是延伸： 04 規則補上「不必每次算極限」的五條規則與鏈式法則（反向傳播就是它）， 05 應用把整層的工具接回 ML 與交易（Delta / Gamma、softmax 與交叉熵、log 報酬的期望）。

怎麼玩

RULE 01

先亂拖一通，再看文字

每張圖上的實心圓點都可以拖。先把它拖到極端位置（拖到重疊、拖到反方向、拖到很遠）， 看數字怎麼爆掉 —— 直覺是這樣長出來的，不是讀出來的。

RULE 02

每個數字旁邊都有一句人話

讀數盤旁邊那句會跟著變的解讀句才是重點。如果你只看到數字在跳、看不懂那句話， 就回到該節開頭的「從你已經會的東西開始」重讀一次。

RULE 03

每關結尾都要自我驗收

每關最後的 ? 清單就是那一關的考卷：先自己回答，再點開對答案。 答不出來的那條，上面一定有對應的互動可以回去再玩一次。

RULE 04

順著走，不要跳關

線性代數 04（特徵向量）如果沒有 01 的內積和 03 的共變異數矩陣墊底，會變成純背公式。主線是線性代數 01→05 接機率統計 01→05 再接最佳化 01→03，一輪約 2–3 小時、可分兩趟走；線性代數 06 補課包與 07 SVD（PCA 的另一條路）可以隨時插隊先玩，一關約 15–25 分鐘；全景 01 是自我驗收；最後那頁「USE CASE 實戰」是走完之後的練手題，第一次讀跳過也沒差。卡住就往回一關，不要硬撐。

先講清楚：這裡的數字是真的還是編的

所有資料集都是合成的（寫死在各關的原始碼裡，固定不變，你重整頁面也不會變）。 理由很簡單：教材要能讓你「拖一個點，看它怎麼影響結論」， 真實資料反而會讓那個因果被雜訊蓋掉。

但所有的計算都是真的 —— 變異數、共變異數、特徵向量、主成分分數， 全部由 assets/lab.js 當場算出來，沒有任何一個數字是手打上去的。 想換成自己的資料，改各關原始碼裡那個資料陣列就行。